Номер 643, страница 214 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

643. Изобразить схематически на одном рисунке графики функций:

1) $y = \sqrt[5]{x^3}$, $y = x\sqrt{x}$;

2) $y = \sqrt[5]{x}$, $y = x^{0.7}$.

$y = f(x)$

a)

$y = g(x)$

б)

Рис. 90

Рассмотрим функции $y = \sqrt{x^5}$ и $y = x\sqrt{x}$.

Для того чтобы сравнить эти функции и построить их графики, преобразуем их к стандартному виду степенной функции $y = x^p$.

Первая функция: $y = \sqrt{x^5} = (x^5)^{1/2} = x^{5/2} = x^{2.5}$.

Вторая функция: $y = x\sqrt{x} = x^1 \cdot x^{1/2} = x^{1+1/2} = x^{3/2} = x^{1.5}$.

Область определения для обеих функций — $x \ge 0$, поскольку подкоренное выражение не может быть отрицательным.

Теперь нам нужно схематически изобразить на одном рисунке графики функций $y_1 = x^{2.5}$ и $y_2 = x^{1.5}$. Оба показателя степени ($p_1 = 2.5$ и $p_2 = 1.5$) больше 1. Все степенные функции вида $y=x^p$ при $p>0$ проходят через точку (1, 1). Также они проходят через точку (0, 0).

Сравним поведение функций на различных промежутках. Используем свойство степенных функций: при сравнении $x^{p_1}$ и $x^{p_2}$ с $p_1 > p_2 > 0$:

– на интервале $(0, 1)$ значение функции с большим показателем меньше, то есть $x^{p_1} < x^{p_2}$. В нашем случае $2.5 > 1.5$, поэтому на $(0, 1)$ график $y = x^{2.5}$ лежит ниже графика $y = x^{1.5}$.

– на интервале $(1, +\infty)$ значение функции с большим показателем больше, то есть $x^{p_1} > x^{p_2}$. Поэтому при $x > 1$ график $y = x^{2.5}$ лежит выше графика $y = x^{1.5}$.

Оба графика являются возрастающими и выпуклыми вниз (вогнутыми), как ветви парабол.

Ответ:

Схематически графики представляют собой две кривые, которые начинаются в точке (0, 0) и пересекаются в точке (1, 1). На интервале от 0 до 1 график функции $y=\sqrt{x^5}$ расположен ниже графика $y=x\sqrt{x}$. После точки (1, 1) график $y=\sqrt{x^5}$ поднимается круче и располагается выше графика $y=x\sqrt{x}$.

Рассмотрим функции $y = \sqrt[5]{x}$ и $y = x^{0.7}$.

Приведем первую функцию к виду $y=x^p$ для удобства сравнения:

$y = \sqrt[5]{x} = x^{1/5} = x^{0.2}$.

Вторая функция уже дана в этом виде: $y = x^{0.7}$.

Хотя функция $y = \sqrt[5]{x}$ определена для всех действительных чисел, степенная функция с дробным показателем $y = x^{0.7}$ обычно рассматривается для $x \ge 0$. Поэтому будем строить графики для $x \ge 0$.

Сравниваем две степенные функции $y_1 = x^{0.2}$ и $y_2 = x^{0.7}$. Оба показателя степени ($p_1 = 0.2$ и $p_2 = 0.7$) находятся в интервале $(0, 1)$. Графики таких функций также проходят через точки (0, 0) и (1, 1).

Сравним поведение функций, используя свойство степенных функций: при сравнении $x^{p_1}$ и $x^{p_2}$ с $0 < p_1 < p_2$:

– на интервале $(0, 1)$ значение функции с меньшим показателем больше, то есть $x^{p_1} > x^{p_2}$. В нашем случае $0.2 < 0.7$, поэтому на $(0, 1)$ график $y = x^{0.2}$ лежит выше графика $y = x^{0.7}$.

– на интервале $(1, +\infty)$ значение функции с меньшим показателем меньше, то есть $x^{p_1} < x^{p_2}$. Поэтому при $x > 1$ график $y = x^{0.2}$ лежит ниже графика $y = x^{0.7}$.

Оба графика являются возрастающими и выпуклыми вверх (вогнутыми), как график функции $y=\sqrt{x}$.

Ответ:

Схематически графики представляют собой две кривые, которые начинаются в точке (0, 0) и пересекаются в точке (1, 1). На интервале от 0 до 1 график функции $y=\sqrt[5]{x}$ расположен выше графика $y=x^{0.7}$. После точки (1, 1) график $y=\sqrt[5]{x}$ располагается ниже графика $y=x^{0.7}$.