Страница 214 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

635. Изобразить схематически график функции, указать её область определения и множество значений:

1) $y = x^9$;

2) $y = 7x^4$;

3) $y = \sqrt{x}$;

4) $y = \sqrt[3]{x}$;

5) $y = x^{-2}$;

6) $y = x^{-3}$.

1) $y = x^9$
Схематический график: График этой функции — степенная функция с нечетным натуральным показателем. Он похож на график кубической параболы $y=x^3$, но его ветви более круто устремляются вверх и вниз при $|x| > 1$. График проходит через начало координат (0, 0), а также через точки (1, 1) и (-1, -1). Он расположен в I и III координатных четвертях и симметричен относительно начала координат (нечетная функция).
Область определения: Функция определена для всех действительных чисел. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Множество значений: Функция принимает все действительные значения. $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
Ответ: Схематический график — кривая, подобная кубической параболе, проходит через точки $(-1, -1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$. Область определения $D(y): (-\infty; +\infty)$. Множество значений $E(y): (-\infty; +\infty)$.

2) $y = 7x^4$
Схематический график: График этой функции — степенная функция с четным натуральным показателем, растянутая в 7 раз вдоль оси Oy. Он похож на параболу $y=x^2$. Ветви направлены вверх. Вершина находится в начале координат (0, 0). График проходит через точки (1, 7) и (-1, 7). Он расположен в I и II координатных четвертях и симметричен относительно оси Oy (четная функция).
Область определения: Функция определена для всех действительных чисел. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Множество значений: Поскольку $x^4 \ge 0$, то $y = 7x^4 \ge 0$. Функция принимает все неотрицательные значения. $E(y) = [0; +\infty)$.
Ответ: Схематический график — парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх. Область определения $D(y): (-\infty; +\infty)$. Множество значений $E(y): [0; +\infty)$.

3) $y = \sqrt{x}$
Схематический график: График функции — верхняя ветвь параболы, симметричной относительно оси Ox ($x=y^2$). График начинается в точке (0, 0) и плавно возрастает, проходя через точки (1, 1) и (4, 2). Он полностью расположен в I координатной четверти.
Область определения: Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x \ge 0$. $D(y) = [0; +\infty)$.
Множество значений: Арифметический квадратный корень всегда неотрицателен, $y \ge 0$. $E(y) = [0; +\infty)$.
Ответ: Схематический график — ветвь параболы, выходящая из точки $(0, 0)$ и расположенная в I координатной четверти. Область определения $D(y): [0; +\infty)$. Множество значений $E(y): [0; +\infty)$.

4) $y = \sqrt[3]{x}$
Схематический график: График функции является обратной функцией к $y=x^3$ и симметричен ей относительно прямой $y=x$. Он проходит через начало координат (0, 0), а также через точки (1, 1), (-1, -1), (8, 2), (-8, -2). Ветви расположены в I и III координатных четвертях. График симметричен относительно начала координат (нечетная функция).
Область определения: Кубический корень определен для всех действительных чисел. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Множество значений: Функция принимает все действительные значения. $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
Ответ: Схематический график — кривая, симметричная относительно начала координат, проходит через точки $(-1, -1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$ и расположена в I и III координатных четвертях. Область определения $D(y): (-\infty; +\infty)$. Множество значений $E(y): (-\infty; +\infty)$.

5) $y = x^{-2}$
Функцию можно переписать в виде $y = \frac{1}{x^2}$.
Схематический график: График состоит из двух ветвей, расположенных в I и II координатных четвертях. Оси координат являются асимптотами: ось Oy ($x=0$) — вертикальная асимптота, а ось Ox ($y=0$) — горизонтальная асимптота. График симметричен относительно оси Oy (четная функция) и проходит через точки (1, 1) и (-1, 1).
Область определения: Знаменатель не может быть равен нулю: $x^2 \neq 0 \implies x \neq 0$. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
Множество значений: Поскольку $x^2 > 0$ для всех $x$ из области определения, то $y = \frac{1}{x^2} > 0$. Функция принимает все положительные значения. $E(y) = (0; +\infty)$.
Ответ: Схематический график — две ветви в I и II четвертях, симметричные относительно оси Oy. Асимптоты — оси координат. Область определения $D(y): (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Множество значений $E(y): (0; +\infty)$.

6) $y = x^{-3}$
Функцию можно переписать в виде $y = \frac{1}{x^3}$.
Схематический график: График (гипербола) состоит из двух ветвей, расположенных в I и III координатных четвертях. Оси координат являются асимптотами: ось Oy ($x=0$) — вертикальная асимптота, а ось Ox ($y=0$) — горизонтальная асимптота. График симметричен относительно начала координат (нечетная функция) и проходит через точки (1, 1) и (-1, -1).
Область определения: Знаменатель не может быть равен нулю: $x^3 \neq 0 \implies x \neq 0$. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
Множество значений: Функция принимает все действительные значения, кроме нуля. $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
Ответ: Схематический график — две ветви в I и III четвертях, симметричные относительно начала координат. Асимптоты — оси координат. Область определения $D(y): (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Множество значений $E(y): (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

636. На одном рисунке построить графики функций $y = x^2$ и $y = \sqrt{x}$. Сравнить значения этих функций при $x = 0; 0,5;$ 1; $\frac{3}{2}$; 2; 3; 4; 5.

1. Построение графиков функций

Для построения графиков функций $y = x^2$ и $y = \sqrt{x}$ на одной координатной плоскости, проанализируем каждую функцию.

Функция $y = x^2$: Это квадратичная функция, графиком которой является парабола с вершиной в начале координат (0, 0) и ветвями, направленными вверх. Область определения функции — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$), область значений — $y \geq 0$.

Функция $y = \sqrt{x}$: Это степенная функция, графиком которой является верхняя ветвь параболы, симметричной оси OY. Область определения этой функции — $x \geq 0$, область значений — $y \geq 0$.

При построении на одном рисунке видно, что графики этих двух функций пересекаются в двух точках. Найдем их, решив уравнение $x^2 = \sqrt{x}$:

$x^4 = x$ (при условии $x \geq 0$)

$x^4 - x = 0$

$x(x^3 - 1) = 0$

$x(x - 1)(x^2 + x + 1) = 0$

Уравнение имеет два действительных корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$. Соответствующие значения $y$ равны $y_1 = 0$ и $y_2 = 1$. Таким образом, точки пересечения графиков — (0, 0) и (1, 1).

Также можно заметить, что для $x \geq 0$ функции $y=x^2$ и $y=\sqrt{x}$ являются взаимно обратными, поэтому их графики симметричны относительно прямой $y=x$.

• При $x \in (0, 1)$ график функции $y = \sqrt{x}$ расположен выше графика функции $y = x^2$.
• При $x \in (1, \infty)$ график функции $y = x^2$ расположен выше графика функции $y = \sqrt{x}$.

2. Сравнение значений функций

Сравним значения функций $y = x^2$ и $y = \sqrt{x}$ в заданных точках.

При x = 0

Для функции $y=x^2$: $y = 0^2 = 0$.
Для функции $y=\sqrt{x}$: $y = \sqrt{0} = 0$.
Значения функций равны.

Ответ: $x^2 = \sqrt{x}$

При x = 0,5

Для функции $y=x^2$: $y = (0,5)^2 = 0,25$.
Для функции $y=\sqrt{x}$: $y = \sqrt{0,5} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0,707$.
$0,25 < 0,707$, следовательно, $x^2 < \sqrt{x}$.

Ответ: $x^2 < \sqrt{x}$

При x = 1

Для функции $y=x^2$: $y = 1^2 = 1$.
Для функции $y=\sqrt{x}$: $y = \sqrt{1} = 1$.
Значения функций равны.

Ответ: $x^2 = \sqrt{x}$

При x = 3/2

Для функции $y=x^2$: $y = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4} = 2,25$.
Для функции $y=\sqrt{x}$: $y = \sqrt{\frac{3}{2}} = \sqrt{1,5} \approx 1,225$.
$2,25 > 1,225$, следовательно, $x^2 > \sqrt{x}$.

Ответ: $x^2 > \sqrt{x}$

При x = 2

Для функции $y=x^2$: $y = 2^2 = 4$.
Для функции $y=\sqrt{x}$: $y = \sqrt{2} \approx 1,414$.
$4 > 1,414$, следовательно, $x^2 > \sqrt{x}$.

Ответ: $x^2 > \sqrt{x}$

При x = 3

Для функции $y=x^2$: $y = 3^2 = 9$.
Для функции $y=\sqrt{x}$: $y = \sqrt{3} \approx 1,732$.
$9 > 1,732$, следовательно, $x^2 > \sqrt{x}$.

Ответ: $x^2 > \sqrt{x}$

При x = 4

Для функции $y=x^2$: $y = 4^2 = 16$.
Для функции $y=\sqrt{x}$: $y = \sqrt{4} = 2$.
$16 > 2$, следовательно, $x^2 > \sqrt{x}$.

Ответ: $x^2 > \sqrt{x}$

При x = 5

Для функции $y=x^2$: $y = 5^2 = 25$.
Для функции $y=\sqrt{x}$: $y = \sqrt{5} \approx 2,236$.
$25 > 2,236$, следовательно, $x^2 > \sqrt{x}$.

Ответ: $x^2 > \sqrt{x}$

637. Решить графически уравнение:

1) $\sqrt[3]{x} = x^2 + x - 1;$

2) $x^{-2} = 2x^2 - 1.$

1) $\sqrt[3]{x} = x^2 + x - 1$

Для решения данного уравнения графическим методом построим в одной системе координат графики двух функций: $y = \sqrt[3]{x}$ и $y = x^2 + x - 1$. Абсциссы точек пересечения этих графиков и будут являться решениями исходного уравнения.

1. Построим график функции $y = \sqrt[3]{x}$. Это функция кубического корня. График проходит через начало координат, расположен в I и III координатных четвертях. Он является возрастающим на всей области определения и симметричен относительно начала координат. Некоторые контрольные точки для построения: $(-8, -2)$, $(-1, -1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(8, 2)$.

2. Построим график функции $y = x^2 + x - 1$. Это квадратичная функция, ее график — парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$).

Найдем координаты вершины параболы:
Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot 1} = -0.5$
Ордината вершины: $y_0 = (-0.5)^2 + (-0.5) - 1 = 0.25 - 0.5 - 1 = -1.25$
Вершина находится в точке $(-0.5, -1.25)$.

Найдем несколько точек для построения параболы:
при $x = -2$, $y = (-2)^2 + (-2) - 1 = 4 - 2 - 1 = 1$;
при $x = -1$, $y = (-1)^2 + (-1) - 1 = 1 - 1 - 1 = -1$;
при $x = 0$, $y = 0^2 + 0 - 1 = -1$;
при $x = 1$, $y = 1^2 + 1 - 1 = 1$.

Совместив графики на одной координатной плоскости, мы ищем их точки пересечения. Из найденных нами контрольных точек видно, что графики имеют общие точки.

Первая точка пересечения: $(-1, -1)$.
Проверка: подставим $x=-1$ в исходное уравнение. Левая часть: $\sqrt[3]{-1} = -1$. Правая часть: $(-1)^2 + (-1) - 1 = 1 - 1 - 1 = -1$. Равенство $-1 = -1$ верно.

Вторая точка пересечения: $(1, 1)$.
Проверка: подставим $x=1$ в исходное уравнение. Левая часть: $\sqrt[3]{1} = 1$. Правая часть: $1^2 + 1 - 1 = 1$. Равенство $1 = 1$ верно.

Таким образом, графики пересекаются в двух точках, абсциссы которых $x = -1$ и $x = 1$ являются решениями уравнения.

Ответ: $x = -1, x = 1$.

2) $x^{-2} = 2x^2 - 1$

Для решения этого уравнения графически представим его в виде равенства двух функций $y = x^{-2}$ и $y = 2x^2 - 1$ и построим их графики в одной системе координат. Решениями уравнения будут абсциссы точек пересечения графиков.

1. Построим график функции $y = x^{-2}$, что то же самое, что и $y = \frac{1}{x^2}$. Область определения функции: все действительные числа, кроме $x=0$. Функция является четной, так как $y(-x) = \frac{1}{(-x)^2} = \frac{1}{x^2} = y(x)$, следовательно, ее график симметричен относительно оси ординат (оси OY). Все значения функции положительны ($y > 0$). Ось OX является горизонтальной асимптотой, а ось OY — вертикальной асимптотой. Контрольные точки: $(\pm 1, 1)$, $(\pm 2, 1/4)$, $(\pm 0.5, 4)$.

2. Построим график функции $y = 2x^2 - 1$. Это парабола, ветви которой направлены вверх ($a=2 > 0$). Эта функция также является четной, так как $y(-x) = 2(-x)^2 - 1 = 2x^2 - 1 = y(x)$. Ее график тоже симметричен относительно оси OY. Найдем координаты вершины параболы:
Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot 2} = 0$
Ордината вершины: $y_0 = 2(0)^2 - 1 = -1$
Вершина находится в точке $(0, -1)$. Контрольные точки: $(\pm 1, 1)$, $(\pm 2, 7)$, $(0, -1)$.

Построим оба графика. Из-за симметрии обоих графиков относительно оси OY, достаточно найти точки пересечения для $x > 0$ и затем отобразить их симметрично. Сравнивая контрольные точки обеих функций, мы видим общую точку $(1, 1)$. Проверим для $x=1$:
Левая часть: $1^{-2} = \frac{1}{1^2} = 1$.
Правая часть: $2(1)^2 - 1=1$.
Равенство $1 = 1$ верно, следовательно, $x=1$ является решением.

Так как оба графика симметричны относительно оси OY, то точка с абсциссой $x = -1$ также будет точкой пересечения. Проверим для $x=-1$:
Левая часть: $(-1)^{-2} = \frac{1}{(-1)^2} = 1$.
Правая часть: $2(-1)^2 - 1=1$.
Равенство $1 = 1$ верно, следовательно, $x=-1$ также является решением.

Графики пересекаются в двух точках: $(1, 1)$ и $(-1, 1)$. Других точек пересечения нет.

Ответ: $x = -1, x = 1$.

638. Найти область определения функции:

1) $y = \sqrt[3]{1 - x};$

2) $y = \sqrt[6]{2 - x^2};$

3) $y = (3x^2 + 1)^{-2};$

4) $y = \sqrt{x^2 - x - 2}.$

1) $y = \sqrt[3]{1-x}$

Областью определения функции является множество всех значений переменной $x$, при которых выражение, задающее функцию, имеет смысл. В данном случае функция представляет собой корень нечетной (третьей) степени. Корень нечетной степени можно извлечь из любого действительного числа (положительного, отрицательного или нуля). Поэтому подкоренное выражение $1-x$ может быть любым действительным числом. Никаких ограничений на $x$ не накладывается.

Следовательно, область определения функции — все действительные числа.

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$ или $x \in \mathbb{R}$.

2) $y = \sqrt[6]{2-x^2}$

Данная функция представляет собой корень четной (шестой) степени. Корень четной степени определен только для неотрицательных чисел. Следовательно, подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю:

$2 - x^2 \ge 0$

Перенесем $x^2$ в правую часть неравенства:

$2 \ge x^2$ или $x^2 \le 2$

Это неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} x \le \sqrt{2} \\ x \ge -\sqrt{2} \end{cases}$

Таким образом, решением неравенства является промежуток $[-\sqrt{2}; \sqrt{2}]$. Это и есть область определения функции.

Ответ: $D(y) = [-\sqrt{2}; \sqrt{2}]$.

3) $y = (3x^2 + 1)^{-2}$

Выражение с отрицательной степенью можно представить в виде дроби:

$y = \frac{1}{(3x^2 + 1)^2}$

Эта функция является дробно-рациональной. Она определена для всех значений $x$, при которых знаменатель не равен нулю:

$(3x^2 + 1)^2 \neq 0$

Это равносильно тому, что $3x^2 + 1 \neq 0$.

Рассмотрим выражение $3x^2 + 1$. Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $3x^2 \ge 0$. Следовательно, $3x^2 + 1 \ge 1$. Это означает, что выражение $3x^2 + 1$ всегда положительно и никогда не равно нулю. Значит, и знаменатель $(3x^2 + 1)^2$ никогда не равен нулю.

Таким образом, ограничений на переменную $x$ нет.

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$ или $x \in \mathbb{R}$.

4) $y = \sqrt{x^2 - x - 2}$

Функция представляет собой квадратный корень, который является корнем четной степени. Следовательно, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$x^2 - x - 2 \ge 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - x - 2 = 0$.

Используем теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 3}{2} = -1$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 3}{2} = 2$

Парабола $y = x^2 - x - 2$ ветвями направлена вверх (так как коэффициент при $x^2$ положителен). Значит, значения квадратного трехчлена неотрицательны при $x$ левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.

Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty; -1] \cup [2; +\infty)$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; -1] \cup [2; +\infty)$.

639. Найти функцию, обратную к функции:

1) $y = 0,5x + 3;$

2) $y = \frac{2}{x-3};$

3) $y = (x + 2)^3;$

4) $y = x^3 - 1.$

1) Дана функция $y = 0,5x + 3$. Чтобы найти обратную функцию, необходимо выразить переменную $x$ через $y$.

Перенесем 3 в левую часть уравнения:

$y - 3 = 0,5x$

Разделим обе части на 0,5 (что эквивалентно умножению на 2), чтобы найти $x$:

$x = \frac{y-3}{0,5} = 2(y-3) = 2y-6$

Теперь заменим $x$ на $y$ и $y$ на $x$, чтобы получить уравнение обратной функции в стандартном виде:

$y = 2x - 6$

Ответ: $y = 2x - 6$

2) Дана функция $y = \frac{2}{x-3}$. Выразим $x$ через $y$.

Область определения исходной функции: $x \neq 3$. Область значений: $y \neq 0$.

Умножим обе части на знаменатель $(x-3)$:

$y(x-3) = 2$

Раскроем скобки и выразим $x$:

$yx - 3y = 2$

$yx = 2 + 3y$

$x = \frac{2 + 3y}{y}$ или, что то же самое, $x = \frac{2}{y} + 3$

Заменяем $x$ на $y$ и $y$ на $x$:

$y = \frac{2}{x} + 3$

Ответ: $y = \frac{2}{x} + 3$

3) Дана функция $y = (x+2)^3$. Выразим $x$ через $y$.

Для этого извлечем кубический корень из обеих частей уравнения:

$\sqrt[3]{y} = \sqrt[3]{(x+2)^3}$

$\sqrt[3]{y} = x+2$

Теперь выразим $x$:

$x = \sqrt[3]{y} - 2$

Заменяем $x$ на $y$ и $y$ на $x$ для получения обратной функции:

$y = \sqrt[3]{x} - 2$

Ответ: $y = \sqrt[3]{x} - 2$

4) Дана функция $y = x^3 - 1$. Выразим $x$ через $y$.

Перенесем -1 в левую часть:

$y + 1 = x^3$

Извлечем кубический корень из обеих частей:

$x = \sqrt[3]{y+1}$

Заменяем $x$ на $y$ и $y$ на $x$:

$y = \sqrt[3]{x+1}$

Ответ: $y = \sqrt[3]{x+1}$

640. Изобразить график функции, обратной к функции, график которой изображён на рисунке 90 (а; б).

Для решения этой задачи необходимо иметь изображения графиков из рисунка 90 (а; б), которые не были предоставлены. Однако, можно изложить общий метод построения графика обратной функции по графику исходной функции.

График функции $y=f^{-1}(x)$, обратной к функции $y=f(x)$, можно получить, отразив график функции $y=f(x)$ симметрично относительно прямой $y=x$.

а)

Рассмотрим теоретическое обоснование этого метода. Пусть дана функция $y=f(x)$. По определению обратной функции $x=f^{-1}(y)$. Чтобы получить функцию в привычном виде, где аргумент обозначается через $x$, а функция — через $y$, мы меняем переменные местами: $y=f^{-1}(x)$.

Ключевым моментом является связь между точками на графиках исходной и обратной функций. Если точка с координатами $(a, b)$ принадлежит графику функции $y=f(x)$, то это означает, что выполняется равенство $b=f(a)$.

Из этого равенства, согласно определению обратной функции, следует, что $a=f^{-1}(b)$. Это означает, что точка с координатами $(b, a)$ принадлежит графику функции $y=f^{-1}(x)$ (после переобозначения переменных $x$ и $y$).

Таким образом, каждой точке $(a, b)$ на графике $y=f(x)$ соответствует точка $(b, a)$ на графике $y=f^{-1}(x)$.

Геометрически преобразование, которое переводит точку $(a, b)$ в точку $(b, a)$, является осевой симметрией относительно прямой, заданной уравнением $y=x$ (биссектрисы первого и третьего координатных углов). Следовательно, весь график обратной функции $y=f^{-1}(x)$ является зеркальным отражением графика исходной функции $y=f(x)$ относительно прямой $y=x$.

Ответ: График обратной функции $y=f^{-1}(x)$ получается симметричным отражением графика исходной функции $y=f(x)$ относительно прямой $y=x$.

б)

На основе вышеизложенного можно сформулировать практический алгоритм для построения графика обратной функции по известному графику исходной функции.

1. В той же системе координат, где изображен график функции $y=f(x)$, постройте вспомогательную прямую $y=x$.
2. Выберите на графике исходной функции $y=f(x)$ несколько характерных точек. Это могут быть точки пересечения с осями координат, точки максимума и минимума, точки перегиба или просто любые удобные точки с целыми координатами. Обозначим их координаты как $(x_1, y_1), (x_2, y_2), \dots, (x_n, y_n)$.
3. Для каждой выбранной точки $(x_k, y_k)$ найдите координаты соответствующей ей точки на графике обратной функции. Для этого нужно поменять местами абсциссу и ординату: $(y_k, x_k)$.
4. Отметьте полученные точки $(y_1, x_1), (y_2, x_2), \dots, (y_n, x_n)$ на координатной плоскости.
5. Соедините отмеченные точки плавной линией, стараясь воспроизвести форму исходного графика в зеркальном отражении. Если исходный график состоял из прямых отрезков, то и новый график будет состоять из симметричных им отрезков.
6. Если у исходной функции были асимптоты, их также необходимо отразить. Горизонтальная асимптота $y=c$ для $f(x)$ превратится в вертикальную асимптоту $x=c$ для $f^{-1}(x)$. Вертикальная асимптота $x=d$ для $f(x)$ превратится в горизонтальную асимптоту $y=d$ для $f^{-1}(x)$.

Применив этот алгоритм к графикам на рисунке 90 (а) и 90 (б), можно построить графики соответствующих им обратных функций.

Ответ: Для построения графика обратной функции необходимо выполнить симметричное отражение исходного графика относительно прямой $y=x$, используя пошаговый алгоритм, включающий нахождение симметричных ключевых точек.

641. Выяснить, являются ли равносильными уравнения:

1) $2^{x^2+3x} = 2^2$ и $x^2+3x=2$;

2) $\sqrt{x^2+3x} = \sqrt{2}$ и $x^2+3x=2$;

3) $\sqrt[3]{x+18} = \sqrt[3]{2-x}$ и $x+18=2-x$.

1) Выясним, являются ли равносильными уравнения $2^{x^2+3x} = 2^2$ и $x^2+3x = 2$.
Первое уравнение является показательным. Поскольку показательная функция $y=a^t$ (где $a>0$, $a \neq 1$) является монотонной, равенство значений функции возможно только при равенстве аргументов. Следовательно, уравнение $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ равносильно уравнению $f(x) = g(x)$.
В данном случае основание степени равно 2, поэтому уравнение $2^{x^2+3x} = 2^2$ равносильно уравнению $x^2+3x = 2$.
Так как первое уравнение с помощью равносильного преобразования приводится ко второму, их множества решений совпадают. Таким образом, уравнения равносильны.

Ответ: уравнения являются равносильными.

2) Выясним, являются ли равносильными уравнения $\sqrt{x^2+3x} = \sqrt{2}$ и $x^2+3x = 2$.
Первое уравнение — иррациональное. Уравнение вида $\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}$ равносильно системе, состоящей из уравнения, получаемого возведением в квадрат, и условия неотрицательности одного из подкоренных выражений: $\begin{cases} f(x) = g(x) \\ f(x) \geq 0 \end{cases}$ (или $\begin{cases} f(x) = g(x) \\ g(x) \geq 0 \end{cases}$).
Для уравнения $\sqrt{x^2+3x} = \sqrt{2}$ получаем равносильную систему: $\begin{cases} x^2+3x = 2 \\ 2 \geq 0 \end{cases}$.
Неравенство $2 \geq 0$ является верным, поэтому система равносильна одному уравнению $x^2+3x=2$.
Это уравнение в точности совпадает со вторым уравнением в паре. Следовательно, множества решений этих уравнений совпадают, и уравнения являются равносильными.

Ответ: уравнения являются равносильными.

3) Выясним, являются ли равносильными уравнения $\sqrt[3]{x+18} = \sqrt[3

642. Решить уравнение:

1) $\sqrt{3-x}=2$;

2) $\sqrt{3x+1}=8$;

3) $\sqrt{3-4x}=2x$;

4) $\sqrt{5x-1+3x^2}=3x$;

5) $\sqrt[3]{x^2-17}=2$;

6) $\sqrt[4]{x^2+17}=3$.

1) Исходное уравнение: $\sqrt{3-x} = 2$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что выражение под корнем должно быть неотрицательным: $3-x \ge 0$, откуда $x \le 3$.
Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:
$(\sqrt{3-x})^2 = 2^2$
$3-x = 4$
Перенесем 3 в правую часть:
$-x = 4 - 3$
$-x = 1$
$x = -1$
Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ. Так как $-1 \le 3$, корень подходит.
Выполним проверку, подставив корень в исходное уравнение:
$\sqrt{3 - (-1)} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$.
$2=2$. Равенство верное.
Ответ: $x = -1$.

2) Исходное уравнение: $\sqrt{3x+1} = 8$.
ОДЗ: $3x+1 \ge 0$, откуда $3x \ge -1$, то есть $x \ge -1/3$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{3x+1})^2 = 8^2$
$3x+1 = 64$
$3x = 63$
$x = 21$
Проверим корень по ОДЗ: $21 \ge -1/3$. Корень подходит.
Проверка подстановкой в исходное уравнение:
$\sqrt{3 \cdot 21 + 1} = \sqrt{63+1} = \sqrt{64} = 8$.
$8=8$. Равенство верное.
Ответ: $x = 21$.

3) Исходное уравнение: $\sqrt{3-4x} = 2x$.
Найдем ОДЗ. Во-первых, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $3-4x \ge 0 \implies 4x \le 3 \implies x \le 3/4$.
Во-вторых, значение арифметического квадратного корня не может быть отрицательным, поэтому правая часть уравнения также должна быть неотрицательной: $2x \ge 0 \implies x \ge 0$.
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $0 \le x \le 3/4$.
Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{3-4x})^2 = (2x)^2$
$3-4x = 4x^2$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$4x^2 + 4x - 3 = 0$
Решим его через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64$.
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{-4 \pm 8}{8}$.
$x_1 = \frac{-4+8}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.
$x_2 = \frac{-4-8}{8} = \frac{-12}{8} = -\frac{3}{2}$.
Проверим корни на принадлежность ОДЗ ($0 \le x \le 3/4$).
Корень $x_1 = 1/2$ удовлетворяет условию, так как $0 \le 1/2 \le 3/4$.
Корень $x_2 = -3/2$ не удовлетворяет условию, так как он отрицателен. Это посторонний корень.
Проверка для $x=1/2$: $\sqrt{3 - 4(1/2)} = \sqrt{3-2} = \sqrt{1} = 1$. Правая часть: $2(1/2)=1$. $1=1$. Верно.
Ответ: $x = 1/2$.

4) Исходное уравнение: $\sqrt{5x-1+3x^2} = 3x$.
ОДЗ: $5x-1+3x^2 \ge 0$ и $3x \ge 0 \implies x \ge 0$.
Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{3x^2+5x-1})^2 = (3x)^2$
$3x^2+5x-1 = 9x^2$
$6x^2 - 5x + 1 = 0$
Решим квадратное уравнение: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1$.
$x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{5 \pm 1}{12}$.
$x_1 = \frac{5+1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.
$x_2 = \frac{5-1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.
Оба корня положительны ($1/2 > 0$ и $1/3 > 0$), поэтому они удовлетворяют условию $x \ge 0$. Проверим их подстановкой в исходное уравнение.
Для $x=1/2$: $\sqrt{3(\frac{1}{2})^2 + 5(\frac{1}{2}) - 1} = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{5}{2} - 1} = \sqrt{\frac{3+10-4}{4}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$. Правая часть: $3(\frac{1}{2}) = \frac{3}{2}$. Верно.
Для $x=1/3$: $\sqrt{3(\frac{1}{3})^2 + 5(\frac{1}{3}) - 1} = \sqrt{\frac{3}{9} + \frac{5}{3} - 1} = \sqrt{\frac{1}{3} + \frac{5}{3} - \frac{3}{3}} = \sqrt{\frac{3}{3}} = \sqrt{1} = 1$. Правая часть: $3(\frac{1}{3}) = 1$. Верно.
Оба корня являются решениями.
Ответ: $x_1=1/3, x_2=1/2$.

5) Исходное уравнение: $\sqrt[3]{x^2 - 17} = 2$.
Поскольку корень нечетной степени (кубический), ОДЗ для $x$ - все действительные числа.
Возведем обе части уравнения в куб:
$(\sqrt[3]{x^2 - 17})^3 = 2^3$
$x^2 - 17 = 8$
$x^2 = 25$
$x = \pm \sqrt{25}$
$x_1 = 5, x_2 = -5$.
Проверка: $\sqrt[3]{(\pm 5)^2 - 17} = \sqrt[3]{25-17} = \sqrt[3]{8} = 2$. Верно.
Ответ: $x = \pm 5$.

6) Исходное уравнение: $\sqrt[4]{x^2 + 17} = 3$.
ОДЗ: $x^2 + 17 \ge 0$. Это неравенство выполняется для любого действительного $x$, так как $x^2 \ge 0$.
Возведем обе части уравнения в четвертую степень:
$(\sqrt[4]{x^2 + 17})^4 = 3^4$
$x^2 + 17 = 81$
$x^2 = 81 - 17$
$x^2 = 64$
$x = \pm \sqrt{64}$
$x_1 = 8, x_2 = -8$.
Проверка: $\sqrt[4]{(\pm 8)^2 + 17} = \sqrt[4]{64+17} = \sqrt[4]{81} = 3$. Верно.
Ответ: $x = \pm 8$.

643. Изобразить схематически на одном рисунке графики функций:

1) $y = \sqrt[5]{x^3}$, $y = x\sqrt{x}$;

2) $y = \sqrt[5]{x}$, $y = x^{0.7}$.

$y = f(x)$

a)

$y = g(x)$

б)

Рис. 90

Рассмотрим функции $y = \sqrt{x^5}$ и $y = x\sqrt{x}$.

Для того чтобы сравнить эти функции и построить их графики, преобразуем их к стандартному виду степенной функции $y = x^p$.

Первая функция: $y = \sqrt{x^5} = (x^5)^{1/2} = x^{5/2} = x^{2.5}$.

Вторая функция: $y = x\sqrt{x} = x^1 \cdot x^{1/2} = x^{1+1/2} = x^{3/2} = x^{1.5}$.

Область определения для обеих функций — $x \ge 0$, поскольку подкоренное выражение не может быть отрицательным.

Теперь нам нужно схематически изобразить на одном рисунке графики функций $y_1 = x^{2.5}$ и $y_2 = x^{1.5}$. Оба показателя степени ($p_1 = 2.5$ и $p_2 = 1.5$) больше 1. Все степенные функции вида $y=x^p$ при $p>0$ проходят через точку (1, 1). Также они проходят через точку (0, 0).

Сравним поведение функций на различных промежутках. Используем свойство степенных функций: при сравнении $x^{p_1}$ и $x^{p_2}$ с $p_1 > p_2 > 0$:

– на интервале $(0, 1)$ значение функции с большим показателем меньше, то есть $x^{p_1} < x^{p_2}$. В нашем случае $2.5 > 1.5$, поэтому на $(0, 1)$ график $y = x^{2.5}$ лежит ниже графика $y = x^{1.5}$.

– на интервале $(1, +\infty)$ значение функции с большим показателем больше, то есть $x^{p_1} > x^{p_2}$. Поэтому при $x > 1$ график $y = x^{2.5}$ лежит выше графика $y = x^{1.5}$.

Оба графика являются возрастающими и выпуклыми вниз (вогнутыми), как ветви парабол.

Ответ:

Схематически графики представляют собой две кривые, которые начинаются в точке (0, 0) и пересекаются в точке (1, 1). На интервале от 0 до 1 график функции $y=\sqrt{x^5}$ расположен ниже графика $y=x\sqrt{x}$. После точки (1, 1) график $y=\sqrt{x^5}$ поднимается круче и располагается выше графика $y=x\sqrt{x}$.

Рассмотрим функции $y = \sqrt[5]{x}$ и $y = x^{0.7}$.

Приведем первую функцию к виду $y=x^p$ для удобства сравнения:

$y = \sqrt[5]{x} = x^{1/5} = x^{0.2}$.

Вторая функция уже дана в этом виде: $y = x^{0.7}$.

Хотя функция $y = \sqrt[5]{x}$ определена для всех действительных чисел, степенная функция с дробным показателем $y = x^{0.7}$ обычно рассматривается для $x \ge 0$. Поэтому будем строить графики для $x \ge 0$.

Сравниваем две степенные функции $y_1 = x^{0.2}$ и $y_2 = x^{0.7}$. Оба показателя степени ($p_1 = 0.2$ и $p_2 = 0.7$) находятся в интервале $(0, 1)$. Графики таких функций также проходят через точки (0, 0) и (1, 1).

Сравним поведение функций, используя свойство степенных функций: при сравнении $x^{p_1}$ и $x^{p_2}$ с $0 < p_1 < p_2$:

– на интервале $(0, 1)$ значение функции с меньшим показателем больше, то есть $x^{p_1} > x^{p_2}$. В нашем случае $0.2 < 0.7$, поэтому на $(0, 1)$ график $y = x^{0.2}$ лежит выше графика $y = x^{0.7}$.

– на интервале $(1, +\infty)$ значение функции с меньшим показателем меньше, то есть $x^{p_1} < x^{p_2}$. Поэтому при $x > 1$ график $y = x^{0.2}$ лежит ниже графика $y = x^{0.7}$.

Оба графика являются возрастающими и выпуклыми вверх (вогнутыми), как график функции $y=\sqrt{x}$.

Ответ:

Схематически графики представляют собой две кривые, которые начинаются в точке (0, 0) и пересекаются в точке (1, 1). На интервале от 0 до 1 график функции $y=\sqrt[5]{x}$ расположен выше графика $y=x^{0.7}$. После точки (1, 1) график $y=\sqrt[5]{x}$ располагается ниже графика $y=x^{0.7}$.