Номер 635, страница 214 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

635. Изобразить схематически график функции, указать её область определения и множество значений:

1) $y = x^9$;

2) $y = 7x^4$;

3) $y = \sqrt{x}$;

4) $y = \sqrt[3]{x}$;

5) $y = x^{-2}$;

6) $y = x^{-3}$.

1) $y = x^9$
Схематический график: График этой функции — степенная функция с нечетным натуральным показателем. Он похож на график кубической параболы $y=x^3$, но его ветви более круто устремляются вверх и вниз при $|x| > 1$. График проходит через начало координат (0, 0), а также через точки (1, 1) и (-1, -1). Он расположен в I и III координатных четвертях и симметричен относительно начала координат (нечетная функция).
Область определения: Функция определена для всех действительных чисел. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Множество значений: Функция принимает все действительные значения. $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
Ответ: Схематический график — кривая, подобная кубической параболе, проходит через точки $(-1, -1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$. Область определения $D(y): (-\infty; +\infty)$. Множество значений $E(y): (-\infty; +\infty)$.

2) $y = 7x^4$
Схематический график: График этой функции — степенная функция с четным натуральным показателем, растянутая в 7 раз вдоль оси Oy. Он похож на параболу $y=x^2$. Ветви направлены вверх. Вершина находится в начале координат (0, 0). График проходит через точки (1, 7) и (-1, 7). Он расположен в I и II координатных четвертях и симметричен относительно оси Oy (четная функция).
Область определения: Функция определена для всех действительных чисел. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Множество значений: Поскольку $x^4 \ge 0$, то $y = 7x^4 \ge 0$. Функция принимает все неотрицательные значения. $E(y) = [0; +\infty)$.
Ответ: Схематический график — парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх. Область определения $D(y): (-\infty; +\infty)$. Множество значений $E(y): [0; +\infty)$.

3) $y = \sqrt{x}$
Схематический график: График функции — верхняя ветвь параболы, симметричной относительно оси Ox ($x=y^2$). График начинается в точке (0, 0) и плавно возрастает, проходя через точки (1, 1) и (4, 2). Он полностью расположен в I координатной четверти.
Область определения: Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x \ge 0$. $D(y) = [0; +\infty)$.
Множество значений: Арифметический квадратный корень всегда неотрицателен, $y \ge 0$. $E(y) = [0; +\infty)$.
Ответ: Схематический график — ветвь параболы, выходящая из точки $(0, 0)$ и расположенная в I координатной четверти. Область определения $D(y): [0; +\infty)$. Множество значений $E(y): [0; +\infty)$.

4) $y = \sqrt[3]{x}$
Схематический график: График функции является обратной функцией к $y=x^3$ и симметричен ей относительно прямой $y=x$. Он проходит через начало координат (0, 0), а также через точки (1, 1), (-1, -1), (8, 2), (-8, -2). Ветви расположены в I и III координатных четвертях. График симметричен относительно начала координат (нечетная функция).
Область определения: Кубический корень определен для всех действительных чисел. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Множество значений: Функция принимает все действительные значения. $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
Ответ: Схематический график — кривая, симметричная относительно начала координат, проходит через точки $(-1, -1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$ и расположена в I и III координатных четвертях. Область определения $D(y): (-\infty; +\infty)$. Множество значений $E(y): (-\infty; +\infty)$.

5) $y = x^{-2}$
Функцию можно переписать в виде $y = \frac{1}{x^2}$.
Схематический график: График состоит из двух ветвей, расположенных в I и II координатных четвертях. Оси координат являются асимптотами: ось Oy ($x=0$) — вертикальная асимптота, а ось Ox ($y=0$) — горизонтальная асимптота. График симметричен относительно оси Oy (четная функция) и проходит через точки (1, 1) и (-1, 1).
Область определения: Знаменатель не может быть равен нулю: $x^2 \neq 0 \implies x \neq 0$. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
Множество значений: Поскольку $x^2 > 0$ для всех $x$ из области определения, то $y = \frac{1}{x^2} > 0$. Функция принимает все положительные значения. $E(y) = (0; +\infty)$.
Ответ: Схематический график — две ветви в I и II четвертях, симметричные относительно оси Oy. Асимптоты — оси координат. Область определения $D(y): (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Множество значений $E(y): (0; +\infty)$.

6) $y = x^{-3}$
Функцию можно переписать в виде $y = \frac{1}{x^3}$.
Схематический график: График (гипербола) состоит из двух ветвей, расположенных в I и III координатных четвертях. Оси координат являются асимптотами: ось Oy ($x=0$) — вертикальная асимптота, а ось Ox ($y=0$) — горизонтальная асимптота. График симметричен относительно начала координат (нечетная функция) и проходит через точки (1, 1) и (-1, -1).
Область определения: Знаменатель не может быть равен нулю: $x^3 \neq 0 \implies x \neq 0$. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
Множество значений: Функция принимает все действительные значения, кроме нуля. $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
Ответ: Схематический график — две ветви в I и III четвертях, симметричные относительно начала координат. Асимптоты — оси координат. Область определения $D(y): (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Множество значений $E(y): (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.