Номер 628, страница 213 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

628. 1) $\sqrt{x+2} > \sqrt{4-x};$

2) $\sqrt{3+2x} \ge \sqrt{x+1};$

3) $\sqrt{3x-2} > x-2;$

4) $\sqrt{3-x} < \sqrt{3x-5}.$

1) Решим неравенство $\sqrt{x+2} > \sqrt{4-x}$.

Это неравенство вида $\sqrt{f(x)} > \sqrt{g(x)}$, которое равносильно системе, в которой подкоренное выражение с меньшей стороны должно быть неотрицательным, а подкоренное выражение с большей стороны должно быть строго больше.

$\begin{cases} x+2 > 4-x \\ 4-x \ge 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство системы:

$x+2 > 4-x \implies 2x > 4-2 \implies 2x > 2 \implies x > 1$.

Решим второе неравенство системы:

$4-x \ge 0 \implies 4 \ge x \implies x \le 4$.

Решением системы является пересечение полученных множеств: $x > 1$ и $x \le 4$.

Таким образом, решением неравенства является промежуток $(1, 4]$.

Ответ: $(1, 4]$.

2) Решим неравенство $\sqrt{3+2x} \ge \sqrt{x+1}$.

Неравенство вида $\sqrt{f(x)} \ge \sqrt{g(x)}$ равносильно системе:

$\begin{cases} 3+2x \ge x+1 \\ x+1 \ge 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство системы:

$3+2x \ge x+1 \implies 2x-x \ge 1-3 \implies x \ge -2$.

Решим второе неравенство системы:

$x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$.

Найдем пересечение решений $x \ge -2$ и $x \ge -1$. Общим решением будет $x \ge -1$.

Решение можно записать в виде промежутка $[-1, +\infty)$.

Ответ: $[-1, +\infty)$.

3) Решим неравенство $\sqrt{3x-2} > x-2$.

Это неравенство вида $\sqrt{f(x)} > g(x)$. Его решение эквивалентно совокупности двух систем, которые рассматриваются в зависимости от знака выражения $g(x)$.

Случай 1: Правая часть неравенства отрицательна. В этом случае неравенство выполняется для всех $x$ из области определения подкоренного выражения.

$\begin{cases} x-2 < 0 \\ 3x-2 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 2 \\ 3x \ge 2 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 2 \\ x \ge \frac{2}{3} \end{cases}$

Решением этой системы является промежуток $[\frac{2}{3}, 2)$.

Случай 2: Правая часть неравенства неотрицательна. В этом случае обе части неравенства можно возвести в квадрат.

$\begin{cases} x-2 \ge 0 \\ 3x-2 > (x-2)^2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 2 \\ 3x-2 > x^2-4x+4 \end{cases}$

Решим второе неравенство в системе:

$0 > x^2 - 4x - 3x + 4 + 2 \implies x^2 - 7x + 6 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 7x + 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1=1$, $x_2=6$.

Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство $x^2 - 7x + 6 < 0$ выполняется при $x \in (1, 6)$.

Теперь найдем пересечение этого решения с условием $x \ge 2$: $x \in (1, 6) \cap [2, +\infty)$, что дает $x \in [2, 6)$.

Общее решение исходного неравенства является объединением решений двух случаев:

$[\frac{2}{3}, 2) \cup [2, 6) = [\frac{2}{3}, 6)$.

Ответ: $[\frac{2}{3}, 6)$.

4) Решим неравенство $\sqrt{3-x} < \sqrt{3x-5}$.

Данное неравенство вида $\sqrt{f(x)} < \sqrt{g(x)}$ равносильно системе:

$\begin{cases} 3-x < 3x-5 \\ 3-x \ge 0 \end{cases}$

Условие $3x-5 \ge 0$ выполняется автоматически, так как из системы следует, что $3x-5 > 3-x \ge 0$.

Решим первое неравенство системы:

$3+5 < 3x+x \implies 8 < 4x \implies x > 2$.

Решим второе неравенство системы:

$3-x \ge 0 \implies 3 \ge x \implies x \le 3$.

Найдем пересечение решений: $x > 2$ и $x \le 3$.

Решением является интервал $(2, 3]$.

Ответ: $(2, 3]$.