Номер 633, страница 213 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

633. 1) $\frac{\sqrt{1 - x^3} - 1}{1 + x} \le x;$

2) $\frac{4x^2 - 9}{\sqrt{3x^2 - 3}} \le \frac{2}{3}x + 1.$

Исходное неравенство: $\sqrt{\frac{1-x^3-1}{1+x}} \le x$.

Сначала упростим выражение в числителе подкоренного выражения: $1-x^3-1 = -x^3$.

Неравенство принимает вид: $\sqrt{\frac{-x^3}{1+x}} \le x$.

Данное иррациональное неравенство вида $\sqrt{f(x)} \le g(x)$ равносильно следующей системе неравенств:

$\begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) \ge 0 \\ f(x) \le (g(x))^2 \end{cases}$

В нашем случае $f(x) = \frac{-x^3}{1+x}$ и $g(x) = x$. Подставим эти выражения в систему:

$\begin{cases} \frac{-x^3}{1+x} \ge 0 \\ x \ge 0 \\ \frac{-x^3}{1+x} \le x^2 \end{cases}$

Решим последовательно каждое неравенство системы.

1. $\frac{-x^3}{1+x} \ge 0$. Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $\frac{x^3}{1+x} \le 0$.
Решим это неравенство методом интервалов. Корни числителя: $x^3=0 \implies x=0$. Корень знаменателя: $1+x=0 \implies x=-1$.
Отметим точки на числовой прямой и определим знаки выражения в полученных интервалах: при $x \in (-\infty, -1)$ выражение положительно; при $x \in (-1, 0)$ выражение отрицательно; при $x \in (0, \infty)$ выражение положительно. Так как неравенство нестрогое, корень числителя $x=0$ входит в решение. Корень знаменателя $x=-1$ не входит. Решением неравенства $\frac{x^3}{1+x} \le 0$ является промежуток $x \in (-1, 0]$.

2. Второе неравенство системы: $x \ge 0$.

3. Теперь найдем пересечение решений первых двух неравенств: $\begin{cases} x \in (-1, 0] \\ x \ge 0 \end{cases}$.
Единственным значением, удовлетворяющим обоим условиям, является $x=0$.

4. Проверим, удовлетворяет ли найденное значение $x=0$ третьему неравенству системы: $\frac{-x^3}{1+x} \le x^2$.
Подставляем $x=0$: $\frac{-0^3}{1+0} \le 0^2 \implies \frac{0}{1} \le 0 \implies 0 \le 0$.
Это верное утверждение. Следовательно, единственным решением системы и исходного неравенства является $x=0$.

Ответ: $x=0$.

Исходное неравенство: $\frac{4x^2-9}{\sqrt{3x^2-3}} \le \frac{2}{3}x+1$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным:
$3x^2-3 > 0 \implies 3(x^2-1) > 0 \implies x^2 > 1$.
Отсюда ОДЗ: $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.

2. Преобразуем неравенство. Разложим числитель на множители и приведем правую часть к общему знаменателю:
$\frac{(2x-3)(2x+3)}{\sqrt{3(x^2-1)}} \le \frac{2x+3}{3}$.

3. Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель $(2x+3)$ за скобки:
$\frac{(2x-3)(2x+3)}{\sqrt{3}\sqrt{x^2-1}} - \frac{2x+3}{3} \le 0$
$(2x+3) \left( \frac{2x-3}{\sqrt{3}\sqrt{x^2-1}} - \frac{1}{3} \right) \le 0$.

4. Решим полученное неравенство методом интервалов. Для этого найдем нули каждого множителя.
- Нуль первого множителя: $2x+3 = 0 \implies x = -3/2 = -1.5$. Этот корень принадлежит ОДЗ.
- Нули второго множителя: $\frac{2x-3}{\sqrt{3}\sqrt{x^2-1}} - \frac{1}{3} = 0 \implies \frac{2x-3}{\sqrt{3x^2-3}} = \frac{1}{3}$.
$3(2x-3) = \sqrt{3x^2-3} \implies 6x-9 = \sqrt{3x^2-3}$.
Для существования решения левая часть должна быть неотрицательной: $6x-9 \ge 0 \implies x \ge 1.5$.
Возведем обе части в квадрат: $(6x-9)^2 = 3x^2-3 \implies 36x^2 - 108x + 81 = 3x^2 - 3$.
$33x^2 - 108x + 84 = 0$. Разделим на 3: $11x^2 - 36x + 28 = 0$.
Найдем корни: $D = (-36)^2 - 4 \cdot 11 \cdot 28 = 1296 - 1232 = 64 = 8^2$.
$x_1 = \frac{36-8}{22} = \frac{28}{22} = \frac{14}{11}$.
$x_2 = \frac{36+8}{22} = \frac{44}{22} = 2$.
С учетом условия $x \ge 1.5$, корень $x_1 = 14/11 \approx 1.27$ является посторонним. Корень $x_2=2$ удовлетворяет условию $2 \ge 1.5$ и принадлежит ОДЗ.
Таким образом, нули левой части неравенства: $x = -3/2$ и $x = 2$.

5. Нанесем найденные нули на числовую ось, учитывая ОДЗ. Это точки $x=-1.5$ и $x=2$. Они разбивают ОДЗ на интервалы: $(-\infty, -1.5)$, $(-1.5, -1)$, $(1, 2)$, $(2, \infty)$.
Определим знак выражения $E(x) = (2x+3) \left( \frac{2x-3}{\sqrt{3x^2-3}} - \frac{1}{3} \right)$ в каждом интервале:
- При $x \in (-\infty, -1.5)$: $E(x) = (-)(-) > 0$.
- При $x \in (-1.5, -1)$: $E(x) = (+)(-) < 0$.
- При $x \in (1, 2)$: $E(x) = (+)(-) < 0$.
- При $x \in (2, \infty)$: $E(x) = (+)(+) > 0$.
Нам нужны интервалы, где $E(x) \le 0$. Это $(-1.5, -1)$ и $(1, 2)$.

6. Поскольку неравенство нестрогое, его решениями также являются сами нули $x=-1.5$ и $x=2$.
При $x=-1.5$ неравенство обращается в верное равенство $0 \le 0$.
При $x=2$ неравенство обращается в верное равенство $7/3 \le 7/3$.
Объединяя интервалы и точки, получаем окончательное решение.

Ответ: $x \in [-3/2, -1) \cup (1, 2]$.