Номер 630, страница 213 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Решить графически неравенство (630—631).

630. 1) $\sqrt{x} \ge x$; 2) $\sqrt{x} < x$; 3) $\sqrt{x} > x - 2$; 4) $\sqrt{x} \le x - 2$.

Для графического решения неравенств мы построим графики функций, находящихся в левой и правой частях каждого неравенства, в одной системе координат. Затем мы определим, на каких промежутках один график расположен выше, ниже или на том же уровне, что и другой, в соответствии со знаком неравенства.

1) Решить неравенство $ \sqrt{x} \ge x $.

Рассмотрим две функции: $ y = \sqrt{x} $ и $ y = x $. Область определения функции $ y = \sqrt{x} $ — это $ x \ge 0 $.

Построим графики этих функций:

• График функции $ y = \sqrt{x} $ — это ветвь параболы, симметричной относительно оси Ox, расположенная в первой координатной четверти. График выходит из точки (0, 0) и проходит через точки (1, 1) и (4, 2).
• График функции $ y = x $ — это прямая, являющаяся биссектрисой первого и третьего координатных углов. Она проходит через точки (0, 0) и (1, 1).

Найдем точки пересечения графиков, решив уравнение $ \sqrt{x} = x $. Возведя обе части в квадрат, получим $ x = x^2 $. Перенесем все в одну сторону: $ x^2 - x = 0 $, или $ x(x-1) = 0 $. Корни уравнения: $ x_1 = 0 $, $ x_2 = 1 $. Таким образом, графики пересекаются в точках (0, 0) и (1, 1).

Теперь определим, на каком промежутке выполняется неравенство $ \sqrt{x} \ge x $, то есть где график функции $ y = \sqrt{x} $ находится не ниже графика функции $ y = x $. Из графика видно, что на интервале от 0 до 1 (включая концы) кривая $ y = \sqrt{x} $ расположена выше или совпадает с прямой $ y = x $. Например, при $ x = 0.25 $, $ \sqrt{0.25} = 0.5 $, и $ 0.5 > 0.25 $. При $ x > 1 $ прямая $ y = x $ оказывается выше кривой $ y = \sqrt{x} $.

Следовательно, решением неравенства является промежуток $ [0; 1] $.

Ответ: $ [0; 1] $.

2) Решить неравенство $ \sqrt{x} < x $.

Мы используем те же графики функций $ y = \sqrt{x} $ и $ y = x $, что и в предыдущем пункте. Точки их пересечения — (0, 0) и (1, 1).

Нам нужно найти значения $ x $, для которых выполняется неравенство $ \sqrt{x} < x $, то есть где график функции $ y = \sqrt{x} $ находится строго ниже графика функции $ y = x $.

Анализируя взаимное расположение графиков, видим, что прямая $ y = x $ проходит выше кривой $ y = \sqrt{x} $ при $ x > 1 $. В точке $ x = 1 $ значения функций равны, поэтому она не входит в решение. При $ 0 \le x < 1 $ график $ y = \sqrt{x} $ находится выше.

Следовательно, решением неравенства является промежуток $ (1; +\infty) $.

Ответ: $ (1; +\infty) $.

3) Решить неравенство $ \sqrt{x} > x - 2 $.

Рассмотрим функции $ y = \sqrt{x} $ и $ y = x - 2 $. Область определения неравенства задается условием $ x \ge 0 $.

Построим графики этих функций:

• График функции $ y = \sqrt{x} $ — та же ветвь параболы.
• График функции $ y = x - 2 $ — это прямая, параллельная прямой $ y=x $ и смещенная на 2 единицы вниз по оси Oy. Она пересекает ось Ox в точке (2, 0) и ось Oy в точке (0, -2).

Найдем точки пересечения графиков, решив уравнение $ \sqrt{x} = x - 2 $. Поскольку левая часть $ \sqrt{x} $ неотрицательна, правая часть также должна быть неотрицательной: $ x - 2 \ge 0 $, то есть $ x \ge 2 $. Возведем обе части уравнения в квадрат: $ x = (x-2)^2 \Rightarrow x = x^2 - 4x + 4 $. Получаем квадратное уравнение: $ x^2 - 5x + 4 = 0 $. Его корни: $ x_1 = 1 $, $ x_2 = 4 $ (по теореме Виета). Проверим корни с учетом условия $ x \ge 2 $. Корень $ x_1 = 1 $ не удовлетворяет этому условию, это посторонний корень. Корень $ x_2 = 4 $ удовлетворяет. Итак, графики пересекаются в одной точке (4, 2).

Нам нужно найти, где график $ y = \sqrt{x} $ лежит выше графика $ y = x - 2 $. Рассмотрим область определения $ x \ge 0 $. На промежутке $ [0; 2) $ значения функции $ y = x - 2 $ отрицательны, а значения $ y = \sqrt{x} $ неотрицательны. Следовательно, на этом промежутке неравенство $ \sqrt{x} > x-2 $ всегда выполняется. На промежутке $ [2; +\infty) $ обе функции неотрицательны. График $ y=\sqrt{x} $ находится выше графика $ y=x-2 $ до их точки пересечения $ x=4 $. При $ x > 4 $ прямая уходит вверх быстрее, чем кривая. Объединяя промежутки $ [0; 2) $ и $ [2; 4) $, получаем итоговое решение.

Следовательно, решением неравенства является промежуток $ [0; 4) $.

Ответ: $ [0; 4) $.

4) Решить неравенство $ \sqrt{x} \le x - 2 $.

Используем графики функций $ y = \sqrt{x} $ и $ y = x - 2 $ и точку их пересечения (4, 2) из предыдущего пункта.

Нам нужно найти значения $ x $, для которых выполняется неравенство $ \sqrt{x} \le x - 2 $, то есть где график функции $ y = \sqrt{x} $ находится не выше (ниже или на том же уровне) графика функции $ y = x - 2 $.

Из анализа в пункте 3) мы знаем, что при $ x > 4 $ график $ y = x - 2 $ находится выше графика $ y = \sqrt{x} $. В точке $ x = 4 $ их значения равны. Следовательно, неравенство $ \sqrt{x} \le x - 2 $ выполняется для всех $ x $, начиная с точки пересечения.

Таким образом, решением неравенства является промежуток $ [4; +\infty) $.

Ответ: $ [4; +\infty) $.