Номер 624, страница 213 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Решить неравенство (624—629).

624. 1) $\sqrt{x} > 2;$

2) $\sqrt{x} < 3;$

3) $\sqrt[3]{x} \ge 1;$

4) $\sqrt[3]{2x} < 3.$

1) Решим неравенство $ \sqrt{x} > 2 $.

Во-первых, определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $ x \ge 0 $.

Поскольку обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:

$ (\sqrt{x})^2 > 2^2 $

$ x > 4 $

Теперь необходимо учесть ОДЗ. Решением является пересечение двух условий: $ x > 4 $ и $ x \ge 0 $.

Пересечением этих множеств является $ x > 4 $.

Ответ: $ x \in (4, +\infty) $.

2) Решим неравенство $ \sqrt{x} < 3 $.

Область допустимых значений для данного неравенства определяется условием $ x \ge 0 $, так как подкоренное выражение не может быть отрицательным.

Левая часть неравенства $ \sqrt{x} $ по определению неотрицательна. Правая часть $ 3 $ также положительна. Следовательно, мы можем возвести обе части неравенства в квадрат:

$ (\sqrt{x})^2 < 3^2 $

$ x < 9 $

Объединим полученное решение с ОДЗ. Мы имеем систему неравенств:

$ \begin{cases} x < 9 \\ x \ge 0 \end{cases} $

Решением этой системы является $ 0 \le x < 9 $.

Ответ: $ x \in [0, 9) $.

3) Решим неравенство $ \sqrt[3]{x} \ge 1 $.

Функция кубического корня $ y = \sqrt[3]{x} $ определена для всех действительных чисел $ x $. Поэтому ОДЗ здесь — все действительные числа, $ x \in (-\infty, +\infty) $.

Для решения неравенства возведем обе его части в третью степень. Так как функция $ y = t^3 $ является возрастающей на всей числовой оси, знак неравенства при этом не изменится:

$ (\sqrt[3]{x})^3 \ge 1^3 $

$ x \ge 1 $

Ответ: $ x \in [1, +\infty) $.

4) Решим неравенство $ \sqrt[3]{2x} < 3 $.

Область допустимых значений для кубического корня — все действительные числа. Выражение $ 2x $ может принимать любые значения. Таким образом, ОДЗ: $ x \in (-\infty, +\infty) $.

Возведем обе части неравенства в третью степень. Знак неравенства сохранится, так как функция возведения в куб является монотонно возрастающей:

$ (\sqrt[3]{2x})^3 < 3^3 $

$ 2x < 27 $

Разделим обе части на 2:

$ x < \frac{27}{2} $

$ x < 13.5 $

Ответ: $ x \in (-\infty, 13.5) $.