Номер 618, страница 207 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Решить уравнение (618—619).

618.

1) $\sqrt{x + \sqrt{6x - 9}} + \sqrt{x - \sqrt{6x - 9}} = \sqrt{6}$;

2) $\sqrt{x + \sqrt{x + 11}} + \sqrt{x - \sqrt{x + 11}} = 4$.

1) $\sqrt{x + \sqrt{6x - 9}} + \sqrt{x - \sqrt{6x - 9}} = \sqrt{6}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под корнями должны быть неотрицательными:

1. $6x - 9 \ge 0 \Rightarrow 6x \ge 9 \Rightarrow x \ge \frac{3}{2}$.

2. $x - \sqrt{6x - 9} \ge 0 \Rightarrow x \ge \sqrt{6x - 9}$. Так как $x \ge 3/2 > 0$, можно возвести обе части в квадрат: $x^2 \ge 6x - 9 \Rightarrow x^2 - 6x + 9 \ge 0 \Rightarrow (x - 3)^2 \ge 0$. Это неравенство верно для любых $x$.

3. $x + \sqrt{6x-9} \ge 0$. При $x \ge 3/2$ оба слагаемых неотрицательны, значит и сумма неотрицательна.

Таким образом, ОДЗ: $x \ge \frac{3}{2}$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x + \sqrt{6x - 9}} + \sqrt{x - \sqrt{6x - 9}})^2 = (\sqrt{6})^2$

$(x + \sqrt{6x - 9}) + (x - \sqrt{6x - 9}) + 2 \sqrt{(x + \sqrt{6x - 9})(x - \sqrt{6x - 9})} = 6$

Упростим выражение под корнем, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:

$2x + 2 \sqrt{x^2 - (6x - 9)} = 6$

$2x + 2 \sqrt{x^2 - 6x + 9} = 6$

Под корнем находится полный квадрат:

$2x + 2 \sqrt{(x - 3)^2} = 6$

$2x + 2 |x - 3| = 6$

Разделим обе части на 2:

$x + |x - 3| = 3$

Рассмотрим два случая раскрытия модуля:

Случай 1: $x - 3 \ge 0$, то есть $x \ge 3$.

В этом случае $|x - 3| = x - 3$. Уравнение принимает вид:

$x + (x - 3) = 3$

$2x - 3 = 3$

$2x = 6$

$x = 3$. Этот корень удовлетворяет условию $x \ge 3$.

Случай 2: $x - 3 < 0$, то есть $x < 3$.

В этом случае $|x - 3| = -(x - 3) = 3 - x$. Уравнение принимает вид:

$x + (3 - x) = 3$

$3 = 3$.

Это тождество, значит, решением являются все $x$ из рассматриваемого промежутка. Объединяя с ОДЗ ($x \ge 3/2$), получаем, что решением является интервал $x \in [\frac{3}{2}, 3)$.

Объединяя решения из обоих случаев ($x=3$ и $x \in [\frac{3}{2}, 3)$), получаем окончательное решение.

Ответ: $x \in [\frac{3}{2}, 3]$.

2) $\sqrt{x + \sqrt{x + 11}} + \sqrt{x - \sqrt{x + 11}} = 4$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

1. $x + 11 \ge 0 \Rightarrow x \ge -11$.

2. $x - \sqrt{x + 11} \ge 0 \Rightarrow x \ge \sqrt{x + 11}$. Поскольку правая часть неотрицательна, то и левая должна быть неотрицательной, $x \ge 0$. Возведем в квадрат: $x^2 \ge x + 11 \Rightarrow x^2 - x - 11 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - x - 11 = 0$: $x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(-11)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{45}}{2} = \frac{1 \pm 3\sqrt{5}}{2}$.

Неравенство $x^2 - x - 11 \ge 0$ выполняется при $x \le \frac{1 - 3\sqrt{5}}{2}$ или $x \ge \frac{1 + 3\sqrt{5}}{2}$. Учитывая, что $x \ge 0$, получаем ОДЗ: $x \ge \frac{1 + 3\sqrt{5}}{2}$.

Возведем обе части исходного уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x + \sqrt{x + 11}} + \sqrt{x - \sqrt{x + 11}})^2 = 4^2$

$(x + \sqrt{x + 11}) + (x - \sqrt{x + 11}) + 2 \sqrt{(x + \sqrt{x + 11})(x - \sqrt{x + 11})} = 16$

$2x + 2 \sqrt{x^2 - (x + 11)} = 16$

$2x + 2 \sqrt{x^2 - x - 11} = 16$

Разделим обе части на 2:

$x + \sqrt{x^2 - x - 11} = 8$

Уединим корень:

$\sqrt{x^2 - x - 11} = 8 - x$

Для существования решения правая часть должна быть неотрицательной: $8 - x \ge 0 \Rightarrow x \le 8$.

Возведем обе части снова в квадрат:

$x^2 - x - 11 = (8 - x)^2$

$x^2 - x - 11 = 64 - 16x + x^2$

$-x - 11 = 64 - 16x$

$15x = 75$

$x = 5$

Проверим, удовлетворяет ли корень $x=5$ всем условиям.
1. Проверка ОДЗ: $x \ge \frac{1 + 3\sqrt{5}}{2}$.
$5 \ge \frac{1 + 3\sqrt{5}}{2} \Rightarrow 10 \ge 1 + 3\sqrt{5} \Rightarrow 9 \ge 3\sqrt{5} \Rightarrow 3 \ge \sqrt{5} \Rightarrow 9 \ge 5$. Неравенство верное.
2. Проверка условия $x \le 8$.
$5 \le 8$. Неравенство верное.

Следовательно, $x=5$ является решением уравнения.

Ответ: 5.