Номер 612, страница 207 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

612. 1) $ \sqrt[3]{x-2} = 2; $

2) $ \sqrt[3]{2x+7} = \sqrt[3]{3(x-1)}; $

3) $ \sqrt[4]{25x^2-144} = x; $

4) $ x^2 = \sqrt{19x^2-34}. $

1)

Дано иррациональное уравнение: $ \sqrt[3]{x-2} = 2 $.

Для решения возведем обе части уравнения в третью степень, чтобы избавиться от знака кубического корня. Так как показатель корня нечетный (3), эта операция является равносильной и не приводит к появлению посторонних корней.

$ (\sqrt[3]{x-2})^3 = 2^3 $

$ x-2 = 8 $

Перенесем -2 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$ x = 8 + 2 $

$ x = 10 $

Выполним проверку, подставив найденное значение x в исходное уравнение:

$ \sqrt[3]{10-2} = \sqrt[3]{8} = 2 $

$ 2 = 2 $

Равенство верное, значит, корень найден правильно.

Ответ: $x = 10$.

2)

Дано иррациональное уравнение: $ \sqrt[3]{2x+7} = \sqrt[3]{3(x-1)} $.

Возведем обе части уравнения в куб, чтобы избавиться от радикалов. Эта операция является равносильной для корней нечетной степени.

$ (\sqrt[3]{2x+7})^3 = (\sqrt[3]{3(x-1)})^3 $

$ 2x+7 = 3(x-1) $

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$ 2x+7 = 3x-3 $

Сгруппируем слагаемые с переменной x в одной части, а свободные члены — в другой:

$ 7+3 = 3x-2x $

$ 10 = x $

Проверка:

Левая часть: $ \sqrt[3]{2(10)+7} = \sqrt[3]{20+7} = \sqrt[3]{27} = 3 $

Правая часть: $ \sqrt[3]{3(10-1)} = \sqrt[3]{3 \cdot 9} = \sqrt[3]{27} = 3 $

$ 3 = 3 $

Равенство верное, корень найден правильно.

Ответ: $x = 10$.

3)

Дано иррациональное уравнение: $ \sqrt[4]{25x^2 - 144} = x $.

Поскольку в уравнении присутствует корень четной степени (четвертой), необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ).
Во-первых, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $ 25x^2 - 144 \ge 0 $.
Во-вторых, арифметический корень четной степени не может быть отрицательным, следовательно, правая часть уравнения также должна быть неотрицательной: $ x \ge 0 $.

Возведем обе части уравнения в четвертую степень:

$ (\sqrt[4]{25x^2 - 144})^4 = x^4 $

$ 25x^2 - 144 = x^4 $

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить биквадратное уравнение:

$ x^4 - 25x^2 + 144 = 0 $

Сделаем замену переменной. Пусть $ y = x^2 $. Так как $ x^2 \ge 0 $, то и $ y \ge 0 $. Уравнение принимает вид:

$ y^2 - 25y + 144 = 0 $

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$ D = b^2 - 4ac = (-25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 144 = 625 - 576 = 49 = 7^2 $

Найдем корни для y:

$ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{25 + 7}{2} = \frac{32}{2} = 16 $

$ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{25 - 7}{2} = \frac{18}{2} = 9 $

Оба значения y положительны, что удовлетворяет условию $ y \ge 0 $.

Теперь выполним обратную замену:

1) $ x^2 = 16 \implies x = \pm 4 $

2) $ x^2 = 9 \implies x = \pm 3 $

Проверим найденные корни на соответствие условию $ x \ge 0 $.

$ x = 4 $ (удовлетворяет)

$ x = -4 $ (не удовлетворяет, посторонний корень)

$ x = 3 $ (удовлетворяет)

$ x = -3 $ (не удовлетворяет, посторонний корень)

Также проверим оставшиеся корни $ x=3 $ и $ x=4 $ по условию $ 25x^2 - 144 \ge 0 $.

Для $ x=3 $: $ 25(3^2) - 144 = 25 \cdot 9 - 144 = 225 - 144 = 81 \ge 0 $. Верно.

Для $ x=4 $: $ 25(4^2) - 144 = 25 \cdot 16 - 144 = 400 - 144 = 256 \ge 0 $. Верно.

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $x_1 = 3, x_2 = 4$.

4)

Дано иррациональное уравнение: $ x^2 = \sqrt{19x^2 - 34} $.

ОДЗ для данного уравнения определяется условием неотрицательности подкоренного выражения: $ 19x^2 - 34 \ge 0 $.

Левая часть уравнения $ x^2 $ всегда неотрицательна, что соответствует свойству арифметического квадратного корня.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$ (x^2)^2 = (\sqrt{19x^2 - 34})^2 $

$ x^4 = 19x^2 - 34 $

Получили биквадратное уравнение:

$ x^4 - 19x^2 + 34 = 0 $

Сделаем замену $ y = x^2 $ ($ y \ge 0 $):

$ y^2 - 19y + 34 = 0 $

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$ D = (-19)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 34 = 361 - 136 = 225 = 15^2 $

$ y_1 = \frac{19 + 15}{2} = \frac{34}{2} = 17 $

$ y_2 = \frac{19 - 15}{2} = \frac{4}{2} = 2 $

Оба корня положительны, поэтому подходят.

Выполним обратную замену:

1) $ x^2 = 17 \implies x = \pm \sqrt{17} $

2) $ x^2 = 2 \implies x = \pm \sqrt{2} $

Проверим найденные значения по ОДЗ: $ 19x^2 - 34 \ge 0 $.

Для $ x = \pm \sqrt{17} $: $ x^2 = 17 $. $ 19(17) - 34 = 323 - 34 = 289 \ge 0 $. Корни подходят.

Для $ x = \pm \sqrt{2} $: $ x^2 = 2 $. $ 19(2) - 34 = 38 - 34 = 4 \ge 0 $. Корни подходят.

Все четыре найденных значения являются корнями исходного уравнения.

Ответ: $x = \pm \sqrt{2}, x = \pm \sqrt{17}$.