Номер 607, страница 206 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Решить уравнение (607—613).

607. 1) $\sqrt{x} - x = -12$;

2) $x + \sqrt{x} = 2(x - 1)$;

3) $\sqrt{x - 1} = x - 3$;

4) $\sqrt{6 + x - x^2} = 1 - x$.

1) $\sqrt{x} - x = -12$

Данное уравнение является иррациональным. Перепишем его в виде $x - \sqrt{x} - 12 = 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется условием $x \ge 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x}$. Поскольку корень арифметический, должно выполняться условие $t \ge 0$.

Подставив $t$ в уравнение, получим квадратное уравнение:
$t^2 - t - 12 = 0$.

Решим это уравнение с помощью теоремы Виета. Ищем два числа, сумма которых равна 1, а произведение равно -12. Это числа 4 и -3.
$t_1 = 4$, $t_2 = -3$.

Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$.
$t_1 = 4$ удовлетворяет условию.
$t_2 = -3$ не удовлетворяет условию ($ -3 < 0 $), поэтому это посторонний корень.

Выполним обратную замену для $t_1 = 4$:
$\sqrt{x} = 4$.

Возведем обе части в квадрат, чтобы найти $x$:
$x = 4^2 = 16$.

Проверим найденный корень. Он удовлетворяет ОДЗ ($16 \ge 0$). Подставим его в исходное уравнение:
$\sqrt{16} - 16 = 4 - 16 = -12$.
$-12 = -12$.
Равенство верное, значит, корень найден правильно.

Ответ: $x=16$.

2) $x + \sqrt{x} = 2(x - 1)$

Раскроем скобки в правой части: $x + \sqrt{x} = 2x - 2$.

Определим ОДЗ. Во-первых, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$. Во-вторых, левая часть $x + \sqrt{x}$ для $x \ge 0$ всегда неотрицательна, значит, и правая часть должна быть неотрицательной: $2(x-1) \ge 0$, что дает $x \ge 1$. Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \ge 1$.

Перенесем все члены, не содержащие корень, в правую часть:
$\sqrt{x} = 2x - x - 2$
$\sqrt{x} = x - 2$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x})^2 = (x - 2)^2$
$x = x^2 - 4x + 4$.

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$x^2 - 5x + 4 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна 5, а произведение равно 4. Корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = 1$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 1$). Оба корня подходят под это условие.

Однако, при возведении в квадрат могли появиться посторонние корни, поэтому необходимо выполнить проверку подстановкой в уравнение *до* возведения в квадрат: $\sqrt{x} = x - 2$.
Для $x_1 = 4$: $\sqrt{4} = 4 - 2 \implies 2 = 2$. Верно.
Для $x_2 = 1$: $\sqrt{1} = 1 - 2 \implies 1 = -1$. Неверно. Значит, $x=1$ — посторонний корень.

Проверка подстановкой в исходное уравнение для $x=4$:
$4 + \sqrt{4} = 2(4 - 1)$
$4 + 2 = 2(3)$
$6 = 6$.
Равенство верное.

Ответ: $x=4$.

3) $\sqrt{x - 1} = x - 3$

Определим ОДЗ. Система условий:
1) $x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$.
2) $x - 3 \ge 0$ (так как значение арифметического корня не может быть отрицательным) $\implies x \ge 3$.
Общее ОДЗ: $x \ge 3$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x - 1})^2 = (x - 3)^2$
$x - 1 = x^2 - 6x + 9$.

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$x^2 - 7x + 10 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна 7, а произведение 10. Корни: $x_1 = 5$ и $x_2 = 2$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 3$).
$x_1 = 5$ удовлетворяет условию ($5 \ge 3$).
$x_2 = 2$ не удовлетворяет условию ($2 < 3$), следовательно, это посторонний корень.

Выполним проверку для $x=5$ подстановкой в исходное уравнение:
$\sqrt{5 - 1} = 5 - 3$
$\sqrt{4} = 2$
$2 = 2$.
Равенство верное.

Ответ: $x=5$.

4) $\sqrt{6 + x - x^2} = 1 - x$

Определим ОДЗ. Должны выполняться два условия:
1) Подкоренное выражение неотрицательно: $6 + x - x^2 \ge 0$. Умножим на -1: $x^2 - x - 6 \le 0$. Корни уравнения $x^2 - x - 6 = 0$ равны -2 и 3. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется между корнями: $-2 \le x \le 3$.
2) Правая часть уравнения неотрицательна: $1 - x \ge 0 \implies x \le 1$.
Объединяя оба условия, получаем ОДЗ: $-2 \le x \le 1$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{6 + x - x^2})^2 = (1 - x)^2$
$6 + x - x^2 = 1 - 2x + x^2$.

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$2x^2 - 3x - 5 = 0$.

Решим это уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm 7}{4}$.
$x_1 = \frac{3 + 7}{4} = \frac{10}{4} = 2.5$.
$x_2 = \frac{3 - 7}{4} = \frac{-4}{4} = -1$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($-2 \le x \le 1$).
$x_1 = 2.5$ не принадлежит интервалу $[-2, 1]$, значит, это посторонний корень.
$x_2 = -1$ принадлежит интервалу $[-2, 1]$, значит, это потенциальный корень.

Выполним проверку для $x=-1$ подстановкой в исходное уравнение:
$\sqrt{6 + (-1) - (-1)^2} = 1 - (-1)$
$\sqrt{6 - 1 - 1} = 1 + 1$
$\sqrt{4} = 2$
$2 = 2$.
Равенство верное.

Ответ: $x=-1$.