Номер 604, страница 206 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

604. 1) $\sqrt[3]{2x+3}=1$;

2) $\sqrt[3]{1-x}=2$;

3) $\sqrt[3]{3x^2-3}=\sqrt[3]{8x}$.

1) $\sqrt[3]{2x+3}=1$

Чтобы решить данное иррациональное уравнение, необходимо избавиться от знака корня. Для этого возведем обе части уравнения в третью степень:

$(\sqrt[3]{2x+3})^3 = 1^3$

В результате получаем линейное уравнение:

$2x+3 = 1$

Перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$2x = 1 - 3$

$2x = -2$

Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = \frac{-2}{2}$

$x = -1$

При возведении в нечетную степень посторонние корни не появляются, но для уверенности можно выполнить проверку. Подставим $x=-1$ в исходное уравнение: $\sqrt[3]{2(-1)+3} = \sqrt[3]{-2+3} = \sqrt[3]{1} = 1$. Равенство $1=1$ верное.

Ответ: $-1$

2) $\sqrt[3]{1-x}=2$

Аналогично предыдущему примеру, возведем обе части уравнения в куб, чтобы убрать радикал:

$(\sqrt[3]{1-x})^3 = 2^3$

Получаем линейное уравнение:

$1-x = 8$

Выразим $x$:

$-x = 8 - 1$

$-x = 7$

$x = -7$

Проверка: подставим $x=-7$ в исходное уравнение: $\sqrt[3]{1-(-7)} = \sqrt[3]{1+7} = \sqrt[3]{8} = 2$. Равенство $2=2$ верное.

Ответ: $-7$

3) $\sqrt[3]{3x^2-3}=\sqrt[3]{8x}$

В данном уравнении кубические корни присутствуют в обеих частях. Возведем обе части в третью степень:

$(\sqrt[3]{3x^2-3})^3 = (\sqrt[3]{8x})^3$

После возведения в степень получаем квадратное уравнение:

$3x^2 - 3 = 8x$

Приведем уравнение к стандартному виду $ax^2+bx+c=0$, перенеся все слагаемые в левую часть:

$3x^2 - 8x - 3 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2-4ac$.

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-8) + \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{8 + 10}{6} = \frac{18}{6} = 3$

$x_2 = \frac{-(-8) - \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{8 - 10}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

Оба корня являются решениями исходного уравнения.

Ответ: $3; -\frac{1}{3}$