Номер 605, страница 206 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

605. 1) $x+1=\sqrt{1-x}$;

2) $x=1+\sqrt{x+11}$;

3) $\sqrt{x+3}=\sqrt{5-x}$;

4) $\sqrt{x^2-x-3}=3$.

1)

Дано иррациональное уравнение: $x+1 = \sqrt{1-x}$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным, и так как корень арифметический (неотрицательный), то и левая часть уравнения должна быть неотрицательной.

$ \begin{cases} 1-x \ge 0 \\ x+1 \ge 0 \end{cases} $

$ \begin{cases} x \le 1 \\ x \ge -1 \end{cases} $

Таким образом, ОДЗ: $x \in [-1; 1]$.

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$(x+1)^2 = (\sqrt{1-x})^2$

$x^2 + 2x + 1 = 1 - x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$x^2 + 2x + x + 1 - 1 = 0$

$x^2 + 3x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x+3) = 0$

Получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = -3$.

Проверим, принадлежат ли корни ОДЗ ($x \in [-1; 1]$).

Корень $x_1 = 0$ принадлежит ОДЗ, так как $-1 \le 0 \le 1$.

Корень $x_2 = -3$ не принадлежит ОДЗ, так как $-3 < -1$. Это посторонний корень.

Проверим найденный корень $x=0$ подстановкой в исходное уравнение:

$0+1 = \sqrt{1-0}$

$1 = \sqrt{1}$

$1 = 1$ (верно).

Ответ: $0$.

2)

Дано иррациональное уравнение: $x = 1 + \sqrt{x+11}$.

Сначала изолируем корень:

$x-1 = \sqrt{x+11}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем и левая часть уравнения должны быть неотрицательными.

$ \begin{cases} x+11 \ge 0 \\ x-1 \ge 0 \end{cases} $

$ \begin{cases} x \ge -11 \\ x \ge 1 \end{cases} $

Таким образом, ОДЗ: $x \ge 1$.

Возведем обе части уравнения $x-1 = \sqrt{x+11}$ в квадрат:

$(x-1)^2 = (\sqrt{x+11})^2$

$x^2 - 2x + 1 = x + 11$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 2x - x + 1 - 11 = 0$

$x^2 - 3x - 10 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета. Ищем два числа, произведение которых равно -10, а сумма равна 3. Это числа 5 и -2.

Корни уравнения: $x_1 = 5$ и $x_2 = -2$.

Проверим, принадлежат ли корни ОДЗ ($x \ge 1$).

Корень $x_1 = 5$ принадлежит ОДЗ, так как $5 \ge 1$.

Корень $x_2 = -2$ не принадлежит ОДЗ, так как $-2 < 1$. Это посторонний корень.

Проверим корень $x=5$ подстановкой в исходное уравнение:

$5 = 1 + \sqrt{5+11}$

$5 = 1 + \sqrt{16}$

$5 = 1 + 4$

$5 = 5$ (верно).

Ответ: $5$.

3)

Дано уравнение: $\sqrt{x+3} = \sqrt{5-x}$.

Найдем ОДЗ. Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными.

$ \begin{cases} x+3 \ge 0 \\ 5-x \ge 0 \end{cases} $

$ \begin{cases} x \ge -3 \\ x \le 5 \end{cases} $

Таким образом, ОДЗ: $x \in [-3; 5]$.

Так как обе части уравнения неотрицательны, возведем их в квадрат:

$(\sqrt{x+3})^2 = (\sqrt{5-x})^2$

$x+3 = 5-x$

Решим полученное линейное уравнение:

$x+x = 5-3$

$2x = 2$

$x = 1$

Проверим, принадлежит ли корень ОДЗ ($x \in [-3; 5]$).

Корень $x=1$ принадлежит ОДЗ, так как $-3 \le 1 \le 5$.

Проверим корень подстановкой в исходное уравнение:

$\sqrt{1+3} = \sqrt{5-1}$

$\sqrt{4} = \sqrt{4}$

$2 = 2$ (верно).

Ответ: $1$.

4)

Дано уравнение: $\sqrt{x^2 - x - 3} = 3$.

Правая часть уравнения - положительное число, поэтому для нахождения решения достаточно возвести обе части в квадрат. При этом нужно учесть ОДЗ, либо выполнить проверку найденных корней.

Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{x^2 - x - 3})^2 = 3^2$

$x^2 - x - 3 = 9$

Перенесем 9 в левую часть:

$x^2 - x - 3 - 9 = 0$

$x^2 - x - 12 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение равно -12. Это числа 4 и -3.

Корни уравнения: $x_1 = 4$ и $x_2 = -3$.

Поскольку возведение в квадрат в данном случае является равносильным преобразованием (так как $3 \ge 0$), оба корня являются решениями. Выполним проверку для уверенности.

Проверка для $x_1 = 4$:

$\sqrt{4^2 - 4 - 3} = \sqrt{16 - 4 - 3} = \sqrt{9} = 3$ (верно).

Проверка для $x_2 = -3$:

$\sqrt{(-3)^2 - (-3) - 3} = \sqrt{9 + 3 - 3} = \sqrt{9} = 3$ (верно).

Оба корня подходят.

Ответ: $-3; 4$.