Номер 611, страница 207 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

611. 1) $\sqrt{1-2x} - \sqrt{13+x} = \sqrt{x+4}$;

2) $\sqrt{7x+1} - \sqrt{6-x} = \sqrt{15+2x}$.

1) $\sqrt{1-2x} - \sqrt{13+x} = \sqrt{x+4}$

Для начала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными:

$1-2x \ge 0 \implies 2x \le 1 \implies x \le 0.5$
$13+x \ge 0 \implies x \ge -13$
$x+4 \ge 0 \implies x \ge -4$

Объединяя эти условия, получаем ОДЗ: $x \in [-4, 0.5]$.

Также, поскольку правая часть уравнения ($\sqrt{x+4}$) неотрицательна, левая часть также должна быть неотрицательной:

$\sqrt{1-2x} - \sqrt{13+x} \ge 0 \implies \sqrt{1-2x} \ge \sqrt{13+x}$

Возводя в квадрат обе части этого неравенства, получаем:

$1-2x \ge 13+x \implies -12 \ge 3x \implies -4 \ge x$

С учетом ОДЗ ($x \in [-4, 0.5]$) и этого дополнительного условия ($x \le -4$), единственным возможным решением является $x = -4$. Проверим его, подставив в исходное уравнение:

$\sqrt{1-2(-4)} - \sqrt{13+(-4)} = \sqrt{-4+4}$

$\sqrt{1+8} - \sqrt{9} = \sqrt{0}$

$\sqrt{9} - \sqrt{9} = 0$

$3 - 3 = 0$

$0 = 0$

Равенство верное, значит $x=-4$ является корнем уравнения.

Проведем также полное алгебраическое решение.

Перенесем один из корней в правую часть, чтобы избавиться от знака минус:

$\sqrt{1-2x} = \sqrt{x+4} + \sqrt{13+x}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{1-2x})^2 = (\sqrt{x+4} + \sqrt{13+x})^2$

$1-2x = (x+4) + 2\sqrt{(x+4)(13+x)} + (13+x)$

$1-2x = 2x + 17 + 2\sqrt{x^2+17x+52}$

Уединим оставшийся корень:

$-16 - 4x = 2\sqrt{x^2+17x+52}$

Разделим обе части на 2:

$-8 - 2x = \sqrt{x^2+17x+52}$

Левая часть должна быть неотрицательной: $-8-2x \ge 0 \implies -8 \ge 2x \implies x \le -4$.

Снова возведем обе части в квадрат:

$(-8-2x)^2 = (\sqrt{x^2+17x+52})^2$

$64 + 32x + 4x^2 = x^2+17x+52$

Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:

$3x^2 + 15x + 12 = 0$

Разделим на 3:

$x^2 + 5x + 4 = 0$

По теореме Виета находим корни: $x_1 = -4$, $x_2 = -1$.

Проверим корни по ОДЗ ($x \in [-4, 0.5]$) и дополнительному условию ($x \le -4$).

Корень $x_1 = -4$ удовлетворяет всем условиям.

Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет условию $x \le -4$, следовательно, является посторонним.

Ответ: -4.

2) $\sqrt{7x+1} - \sqrt{6-x} = \sqrt{15+2x}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$7x+1 \ge 0 \implies 7x \ge -1 \implies x \ge -1/7$
$6-x \ge 0 \implies x \le 6$
$15+2x \ge 0 \implies 2x \ge -15 \implies x \ge -7.5$

Общая ОДЗ: $x \in [-1/7, 6]$.

Перенесем корень $\sqrt{6-x}$ в правую часть уравнения:

$\sqrt{7x+1} = \sqrt{15+2x} + \sqrt{6-x}$

Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{7x+1})^2 = (\sqrt{15+2x} + \sqrt{6-x})^2$

$7x+1 = (15+2x) + 2\sqrt{(15+2x)(6-x)} + (6-x)$

$7x+1 = x + 21 + 2\sqrt{-2x^2 - 3x + 90}$

Уединим корень:

$6x - 20 = 2\sqrt{-2x^2 - 3x + 90}$

Разделим обе части на 2:

$3x - 10 = \sqrt{-2x^2 - 3x + 90}$

Так как правая часть неотрицательна, левая часть также должна быть неотрицательной:

$3x - 10 \ge 0 \implies 3x \ge 10 \implies x \ge 10/3$.

С учетом ОДЗ ($x \in [-1/7, 6]$) получаем новое, более строгое ограничение: $x \in [10/3, 6]$.

Снова возведем в квадрат обе части:

$(3x-10)^2 = (\sqrt{-2x^2 - 3x + 90})^2$

$9x^2 - 60x + 100 = -2x^2 - 3x + 90$

Получаем квадратное уравнение:

$11x^2 - 57x + 10 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-57)^2 - 4 \cdot 11 \cdot 10 = 3249 - 440 = 2809 = 53^2$.

Находим корни:

$x_1 = \frac{57 - 53}{2 \cdot 11} = \frac{4}{22} = \frac{2}{11}$

$x_2 = \frac{57 + 53}{2 \cdot 11} = \frac{110}{22} = 5$

Проверим корни по нашему ограничению $x \in [10/3, 6]$.

Корень $x_1 = 2/11$ не удовлетворяет условию $x \ge 10/3$ (так как $2/11 \approx 0.18$, а $10/3 \approx 3.33$), значит, это посторонний корень.

Корень $x_2 = 5$ удовлетворяет условию $10/3 \le 5 \le 6$.

Выполним проверку, подставив $x=5$ в исходное уравнение:

$\sqrt{7(5)+1} - \sqrt{6-5} = \sqrt{15+2(5)}$

$\sqrt{36} - \sqrt{1} = \sqrt{25}$

$6 - 1 = 5$

$5 = 5$

Равенство верное.

Ответ: 5.