Номер 614, страница 207 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

614. Выяснить с помощью графиков, сколько корней имеет уравнение:

1) $\sqrt{x-6}=-x^2$;

2) $\sqrt[3]{x}=(x-1)^2$;

3) $\sqrt{x+1}=x^2-7$;

4) $1-x^4=\sqrt{x-1}$.

1) Чтобы определить количество корней уравнения $\sqrt{x-6}=-x^2$, построим в одной системе координат графики функций $y=\sqrt{x-6}$ и $y=-x^2$.

График функции $y=\sqrt{x-6}$ – это верхняя ветвь параболы, симметричной относительно оси $Ox$. Она получается из графика функции $y=\sqrt{x}$ сдвигом на 6 единиц вправо вдоль оси $Ox$. Область определения этой функции: $x-6 \ge 0$, то есть $x \ge 6$. Область значений: $y \ge 0$.

График функции $y=-x^2$ – это парабола с вершиной в точке $(0, 0)$, ветви которой направлены вниз. Область значений этой функции: $y \le 0$.

Количество корней исходного уравнения равно количеству точек пересечения этих двух графиков. Найдем, при каких условиях возможно пересечение. Для этого значения функций должны совпадать, то есть $y$ должен быть одновременно неотрицательным ($y \ge 0$) и неположительным ($y \le 0$). Это возможно только если $y=0$.

Найдем, при каких значениях $x$ каждая из функций равна нулю:

$y=\sqrt{x-6}=0 \implies x-6=0 \implies x=6$.

$y=-x^2=0 \implies x=0$.

Поскольку значения $x$, при которых функции обращаются в ноль, различны, то точки $(6, 0)$ и $(0, 0)$ не являются общей точкой. Таким образом, у графиков нет общих точек.

Кроме того, для области определения первой функции ($x \ge 6$) вторая функция $y=-x^2$ всегда принимает отрицательные значения (например, при $x=6$, $y=-36$), в то время как первая функция $y=\sqrt{x-6}$ принимает неотрицательные значения. Следовательно, равенство невозможно.

Ответ: 0 корней.

2) Чтобы определить количество корней уравнения $\sqrt[3]{x}=(x-1)^2$, построим в одной системе координат графики функций $y=\sqrt[3]{x}$ и $y=(x-1)^2$.

График функции $y=\sqrt[3]{x}$ – это кубическая парабола, симметричная относительно начала координат. Функция определена для всех $x \in \mathbb{R}$ и является возрастающей.

График функции $y=(x-1)^2$ – это парабола, полученная сдвигом графика $y=x^2$ на 1 единицу вправо. Вершина параболы находится в точке $(1, 0)$, ветви направлены вверх. Область значений: $y \ge 0$.

Рассмотрим поведение графиков. Поскольку $y=(x-1)^2 \ge 0$, то точки пересечения могут быть только при $x \ge 0$, так как при $x<0$ функция $y=\sqrt[3]{x}$ принимает отрицательные значения.

При $x=0$: $y=\sqrt[3]{0}=0$, а $y=(0-1)^2=1$. График параболы выше.

При $x=1$: $y=\sqrt[3]{1}=1$, а $y=(1-1)^2=0$. График кубического корня выше.

Так как обе функции непрерывны, на интервале $(0, 1)$ существует как минимум одна точка пересечения.

Рассмотрим поведение функций при $x>1$. При $x=1$ график кубического корня находится выше. Однако при больших значениях $x$ парабола растет значительно быстрее, чем кубический корень. Например, при $x=8$: $y=\sqrt[3]{8}=2$, а $y=(8-1)^2=49$. График параболы снова оказывается выше. Следовательно, на интервале $(1, \infty)$ существует еще одна точка пересечения.

Таким образом, графики функций пересекаются в двух точках.

Ответ: 2 корня.

3) Чтобы определить количество корней уравнения $\sqrt{x+1}=x^2-7$, построим в одной системе координат графики функций $y=\sqrt{x+1}$ и $y=x^2-7$.

График функции $y=\sqrt{x+1}$ – это верхняя ветвь параболы, полученная сдвигом графика $y=\sqrt{x}$ на 1 единицу влево. Область определения: $x+1 \ge 0$, то есть $x \ge -1$. Область значений: $y \ge 0$.

График функции $y=x^2-7$ – это парабола с вершиной в точке $(0, -7)$, ветви которой направлены вверх.

Поскольку $y=\sqrt{x+1} \ge 0$, нас интересуют только те участки параболы $y=x^2-7$, где $y \ge 0$. Это происходит при $x^2-7 \ge 0$, то есть при $|x| \ge \sqrt{7}$. Учитывая область определения первой функции ($x \ge -1$), мы ищем точки пересечения при $x \ge \sqrt{7} \approx 2.65$.

Проверим некоторые целочисленные значения $x$ в этой области. Пусть $x=3$.

Для первой функции: $y=\sqrt{3+1}=\sqrt{4}=2$.

Для второй функции: $y=3^2-7=9-7=2$.

Значения совпали, значит, точка $(3, 2)$ является точкой пересечения графиков, а $x=3$ – корень уравнения.

Рассмотрим поведение функций при $x>3$. Функция $y=x^2-7$ (парабола) растет гораздо быстрее, чем функция $y=\sqrt{x+1}$ (корень). Это можно увидеть, сравнив их производные: $(x^2-7)' = 2x$, а $(\sqrt{x+1})' = \frac{1}{2\sqrt{x+1}}$. При $x>3$ производная параболы больше 6, а производная корня меньше $\frac{1}{4}$. Следовательно, других точек пересечения при $x>3$ не будет.

В области $[-1, \sqrt{7})$ функция $y=x^2-7$ принимает отрицательные значения, в то время как функция $y=\sqrt{x+1}$ – неотрицательные. Следовательно, в этой области пересечений нет.

Таким образом, графики имеют только одну точку пересечения.

Ответ: 1 корень.

4) Чтобы определить количество корней уравнения $1-x^4=\sqrt{x-1}$, построим в одной системе координат графики функций $y=1-x^4$ и $y=\sqrt{x-1}$.

График функции $y=\sqrt{x-1}$ – это верхняя ветвь параболы, полученная сдвигом графика $y=\sqrt{x}$ на 1 единицу вправо. Область определения: $x-1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$. Область значений: $y \ge 0$.

График функции $y=1-x^4$ – это график функции $y=-x^4$, сдвинутый на 1 единицу вверх. Вершина находится в точке $(0, 1)$. График симметричен относительно оси $Oy$.

Область определения исходного уравнения задается функцией $y=\sqrt{x-1}$, поэтому $x \ge 1$.

Проверим значение функций в точке $x=1$.

Для первой функции: $y=1-1^4=0$.

Для второй функции: $y=\sqrt{1-1}=0$.

Значения совпали, значит, точка $(1, 0)$ является точкой пересечения, а $x=1$ – корень уравнения.

Рассмотрим поведение функций при $x>1$.

Для функции $y=\sqrt{x-1}$, при $x>1$ значения $y$ будут положительными ($y>0$).

Для функции $y=1-x^4$, при $x>1$ имеем $x^4>1$, следовательно $1-x^4<0$. Значения $y$ будут отрицательными.

Поскольку при $x>1$ одна функция всегда положительна, а другая всегда отрицательна, они не могут пересечься. Следовательно, $x=1$ является единственным корнем.

Ответ: 1 корень.