Номер 617, страница 207 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

617. Решить систему уравнений:

1) $\begin{cases} \sqrt{\frac{2x-1}{y+2}} + \sqrt{\frac{y+2}{2x-1}} = 2, \\ x+y=12; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \sqrt{x^2+5} + \sqrt{y^2-5} = 5, \\ x^2+y^2=13. \end{cases}$

1)
Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \sqrt{\frac{2x-1}{y+2}} + \sqrt{\frac{y+2}{2x-1}} = 2 \\ x + y = 12 \end{cases} $$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под корнем должны быть неотрицательными. Так как они также находятся в знаменателе дроби, они должны быть строго положительными: $ \frac{2x-1}{y+2} > 0 $. Это означает, что $2x-1$ и $y+2$ должны иметь одинаковые знаки.
Рассмотрим первое уравнение. Введем замену: пусть $ t = \sqrt{\frac{2x-1}{y+2}} $. Заметим, что $t > 0$. Тогда уравнение примет вид: $ t + \frac{1}{t} = 2 $
Умножим обе части на $t$ (так как $t \neq 0$): $ t^2 + 1 = 2t $ $ t^2 - 2t + 1 = 0 $ $ (t - 1)^2 = 0 $ Отсюда получаем $ t = 1 $.
Вернемся к исходным переменным: $ \sqrt{\frac{2x-1}{y+2}} = 1 $
Возведем обе части в квадрат: $ \frac{2x-1}{y+2} = 1 $ $ 2x - 1 = y + 2 $ $ 2x - y = 3 $
Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений: $$ \begin{cases} 2x - y = 3 \\ x + y = 12 \end{cases} $$ Сложим эти два уравнения: $ (2x - y) + (x + y) = 3 + 12 $ $ 3x = 15 $ $ x = 5 $
Подставим значение $x$ во второе уравнение системы $x + y = 12$: $ 5 + y = 12 $ $ y = 7 $
Проверим найденное решение $(5, 7)$ на соответствие ОДЗ: $ \frac{2(5)-1}{7+2} = \frac{10-1}{9} = \frac{9}{9} = 1 > 0 $. Условие выполнено. Подставим в исходную систему: Первое уравнение: $ \sqrt{\frac{2(5)-1}{7+2}} + \sqrt{\frac{7+2}{2(5)-1}} = \sqrt{1} + \sqrt{1} = 1+1=2 $. Верно. Второе уравнение: $ 5 + 7 = 12 $. Верно.
Ответ: $(5; 7)$.

2)
Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \sqrt{x^2+5} + \sqrt{y^2-5} = 5 \\ x^2 + y^2 = 13 \end{cases} $$ Найдем ОДЗ: $ x^2+5 \ge 0 $ (верно для любого $x$) $ y^2-5 \ge 0 \implies y^2 \ge 5 $.
Введем замену. Пусть $ a = \sqrt{x^2+5} $ и $ b = \sqrt{y^2-5} $. Из ОДЗ следует, что $ a \ge \sqrt{5} $ и $ b \ge 0 $.
Первое уравнение системы примет вид: $ a + b = 5 $
Возведем в квадрат выражения для $a$ и $b$: $ a^2 = x^2+5 \implies x^2 = a^2-5 $ $ b^2 = y^2-5 \implies y^2 = b^2+5 $
Подставим выражения для $x^2$ и $y^2$ во второе уравнение исходной системы $x^2 + y^2 = 13$: $ (a^2-5) + (b^2+5) = 13 $ $ a^2 + b^2 = 13 $
Получили новую систему уравнений для $a$ и $b$: $$ \begin{cases} a + b = 5 \\ a^2 + b^2 = 13 \end{cases} $$ Из первого уравнения выразим $b$: $ b = 5 - a $. Подставим во второе уравнение: $ a^2 + (5-a)^2 = 13 $ $ a^2 + 25 - 10a + a^2 = 13 $ $ 2a^2 - 10a + 12 = 0 $ Разделим на 2: $ a^2 - 5a + 6 = 0 $
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета: $ a_1 = 2, a_2 = 3 $.
Проверим найденные значения $a$ с учетом ограничения $ a \ge \sqrt{5} $. Так как $ \sqrt{5} \approx 2.236 $, то $ a_1 = 2 $ не удовлетворяет условию $ a \ge \sqrt{5} $ (если $a=2$, то $x^2 = 2^2-5 = -1$, что невозможно для действительных $x$). Значение $ a_2 = 3 $ удовлетворяет условию, так как $ 3 > \sqrt{5} $. Итак, единственное решение для $a$ это $a=3$.
Найдем $b$: $ b = 5 - a = 5 - 3 = 2 $. Значение $b=2$ удовлетворяет условию $ b \ge 0 $.
Вернемся к исходным переменным: $ a = \sqrt{x^2+5} = 3 \implies x^2+5 = 9 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2 $. $ b = \sqrt{y^2-5} = 2 \implies y^2-5 = 4 \implies y^2 = 9 \implies y = \pm 3 $.
Проверим условие ОДЗ $ y^2 \ge 5 $. $ (\pm 3)^2 = 9 \ge 5 $. Условие выполнено. Таким образом, получаем четыре пары решений.
Ответ: $(2; 3), (2; -3), (-2; 3), (-2; -3)$.