Страница 207 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

611. 1) $\sqrt{1-2x} - \sqrt{13+x} = \sqrt{x+4}$;

2) $\sqrt{7x+1} - \sqrt{6-x} = \sqrt{15+2x}$.

1) $\sqrt{1-2x} - \sqrt{13+x} = \sqrt{x+4}$

Для начала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными:

$1-2x \ge 0 \implies 2x \le 1 \implies x \le 0.5$
$13+x \ge 0 \implies x \ge -13$
$x+4 \ge 0 \implies x \ge -4$

Объединяя эти условия, получаем ОДЗ: $x \in [-4, 0.5]$.

Также, поскольку правая часть уравнения ($\sqrt{x+4}$) неотрицательна, левая часть также должна быть неотрицательной:

$\sqrt{1-2x} - \sqrt{13+x} \ge 0 \implies \sqrt{1-2x} \ge \sqrt{13+x}$

Возводя в квадрат обе части этого неравенства, получаем:

$1-2x \ge 13+x \implies -12 \ge 3x \implies -4 \ge x$

С учетом ОДЗ ($x \in [-4, 0.5]$) и этого дополнительного условия ($x \le -4$), единственным возможным решением является $x = -4$. Проверим его, подставив в исходное уравнение:

$\sqrt{1-2(-4)} - \sqrt{13+(-4)} = \sqrt{-4+4}$

$\sqrt{1+8} - \sqrt{9} = \sqrt{0}$

$\sqrt{9} - \sqrt{9} = 0$

$3 - 3 = 0$

$0 = 0$

Равенство верное, значит $x=-4$ является корнем уравнения.

Проведем также полное алгебраическое решение.

Перенесем один из корней в правую часть, чтобы избавиться от знака минус:

$\sqrt{1-2x} = \sqrt{x+4} + \sqrt{13+x}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{1-2x})^2 = (\sqrt{x+4} + \sqrt{13+x})^2$

$1-2x = (x+4) + 2\sqrt{(x+4)(13+x)} + (13+x)$

$1-2x = 2x + 17 + 2\sqrt{x^2+17x+52}$

Уединим оставшийся корень:

$-16 - 4x = 2\sqrt{x^2+17x+52}$

Разделим обе части на 2:

$-8 - 2x = \sqrt{x^2+17x+52}$

Левая часть должна быть неотрицательной: $-8-2x \ge 0 \implies -8 \ge 2x \implies x \le -4$.

Снова возведем обе части в квадрат:

$(-8-2x)^2 = (\sqrt{x^2+17x+52})^2$

$64 + 32x + 4x^2 = x^2+17x+52$

Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:

$3x^2 + 15x + 12 = 0$

Разделим на 3:

$x^2 + 5x + 4 = 0$

По теореме Виета находим корни: $x_1 = -4$, $x_2 = -1$.

Проверим корни по ОДЗ ($x \in [-4, 0.5]$) и дополнительному условию ($x \le -4$).

Корень $x_1 = -4$ удовлетворяет всем условиям.

Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет условию $x \le -4$, следовательно, является посторонним.

Ответ: -4.

2) $\sqrt{7x+1} - \sqrt{6-x} = \sqrt{15+2x}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$7x+1 \ge 0 \implies 7x \ge -1 \implies x \ge -1/7$
$6-x \ge 0 \implies x \le 6$
$15+2x \ge 0 \implies 2x \ge -15 \implies x \ge -7.5$

Общая ОДЗ: $x \in [-1/7, 6]$.

Перенесем корень $\sqrt{6-x}$ в правую часть уравнения:

$\sqrt{7x+1} = \sqrt{15+2x} + \sqrt{6-x}$

Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{7x+1})^2 = (\sqrt{15+2x} + \sqrt{6-x})^2$

$7x+1 = (15+2x) + 2\sqrt{(15+2x)(6-x)} + (6-x)$

$7x+1 = x + 21 + 2\sqrt{-2x^2 - 3x + 90}$

Уединим корень:

$6x - 20 = 2\sqrt{-2x^2 - 3x + 90}$

Разделим обе части на 2:

$3x - 10 = \sqrt{-2x^2 - 3x + 90}$

Так как правая часть неотрицательна, левая часть также должна быть неотрицательной:

$3x - 10 \ge 0 \implies 3x \ge 10 \implies x \ge 10/3$.

С учетом ОДЗ ($x \in [-1/7, 6]$) получаем новое, более строгое ограничение: $x \in [10/3, 6]$.

Снова возведем в квадрат обе части:

$(3x-10)^2 = (\sqrt{-2x^2 - 3x + 90})^2$

$9x^2 - 60x + 100 = -2x^2 - 3x + 90$

Получаем квадратное уравнение:

$11x^2 - 57x + 10 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-57)^2 - 4 \cdot 11 \cdot 10 = 3249 - 440 = 2809 = 53^2$.

Находим корни:

$x_1 = \frac{57 - 53}{2 \cdot 11} = \frac{4}{22} = \frac{2}{11}$

$x_2 = \frac{57 + 53}{2 \cdot 11} = \frac{110}{22} = 5$

Проверим корни по нашему ограничению $x \in [10/3, 6]$.

Корень $x_1 = 2/11$ не удовлетворяет условию $x \ge 10/3$ (так как $2/11 \approx 0.18$, а $10/3 \approx 3.33$), значит, это посторонний корень.

Корень $x_2 = 5$ удовлетворяет условию $10/3 \le 5 \le 6$.

Выполним проверку, подставив $x=5$ в исходное уравнение:

$\sqrt{7(5)+1} - \sqrt{6-5} = \sqrt{15+2(5)}$

$\sqrt{36} - \sqrt{1} = \sqrt{25}$

$6 - 1 = 5$

$5 = 5$

Равенство верное.

Ответ: 5.

612. 1) $ \sqrt[3]{x-2} = 2; $

2) $ \sqrt[3]{2x+7} = \sqrt[3]{3(x-1)}; $

3) $ \sqrt[4]{25x^2-144} = x; $

4) $ x^2 = \sqrt{19x^2-34}. $

1)

Дано иррациональное уравнение: $ \sqrt[3]{x-2} = 2 $.

Для решения возведем обе части уравнения в третью степень, чтобы избавиться от знака кубического корня. Так как показатель корня нечетный (3), эта операция является равносильной и не приводит к появлению посторонних корней.

$ (\sqrt[3]{x-2})^3 = 2^3 $

$ x-2 = 8 $

Перенесем -2 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$ x = 8 + 2 $

$ x = 10 $

Выполним проверку, подставив найденное значение x в исходное уравнение:

$ \sqrt[3]{10-2} = \sqrt[3]{8} = 2 $

$ 2 = 2 $

Равенство верное, значит, корень найден правильно.

Ответ: $x = 10$.

2)

Дано иррациональное уравнение: $ \sqrt[3]{2x+7} = \sqrt[3]{3(x-1)} $.

Возведем обе части уравнения в куб, чтобы избавиться от радикалов. Эта операция является равносильной для корней нечетной степени.

$ (\sqrt[3]{2x+7})^3 = (\sqrt[3]{3(x-1)})^3 $

$ 2x+7 = 3(x-1) $

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$ 2x+7 = 3x-3 $

Сгруппируем слагаемые с переменной x в одной части, а свободные члены — в другой:

$ 7+3 = 3x-2x $

$ 10 = x $

Проверка:

Левая часть: $ \sqrt[3]{2(10)+7} = \sqrt[3]{20+7} = \sqrt[3]{27} = 3 $

Правая часть: $ \sqrt[3]{3(10-1)} = \sqrt[3]{3 \cdot 9} = \sqrt[3]{27} = 3 $

$ 3 = 3 $

Равенство верное, корень найден правильно.

Ответ: $x = 10$.

3)

Дано иррациональное уравнение: $ \sqrt[4]{25x^2 - 144} = x $.

Поскольку в уравнении присутствует корень четной степени (четвертой), необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ).
Во-первых, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $ 25x^2 - 144 \ge 0 $.
Во-вторых, арифметический корень четной степени не может быть отрицательным, следовательно, правая часть уравнения также должна быть неотрицательной: $ x \ge 0 $.

Возведем обе части уравнения в четвертую степень:

$ (\sqrt[4]{25x^2 - 144})^4 = x^4 $

$ 25x^2 - 144 = x^4 $

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить биквадратное уравнение:

$ x^4 - 25x^2 + 144 = 0 $

Сделаем замену переменной. Пусть $ y = x^2 $. Так как $ x^2 \ge 0 $, то и $ y \ge 0 $. Уравнение принимает вид:

$ y^2 - 25y + 144 = 0 $

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$ D = b^2 - 4ac = (-25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 144 = 625 - 576 = 49 = 7^2 $

Найдем корни для y:

$ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{25 + 7}{2} = \frac{32}{2} = 16 $

$ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{25 - 7}{2} = \frac{18}{2} = 9 $

Оба значения y положительны, что удовлетворяет условию $ y \ge 0 $.

Теперь выполним обратную замену:

1) $ x^2 = 16 \implies x = \pm 4 $

2) $ x^2 = 9 \implies x = \pm 3 $

Проверим найденные корни на соответствие условию $ x \ge 0 $.

$ x = 4 $ (удовлетворяет)

$ x = -4 $ (не удовлетворяет, посторонний корень)

$ x = 3 $ (удовлетворяет)

$ x = -3 $ (не удовлетворяет, посторонний корень)

Также проверим оставшиеся корни $ x=3 $ и $ x=4 $ по условию $ 25x^2 - 144 \ge 0 $.

Для $ x=3 $: $ 25(3^2) - 144 = 25 \cdot 9 - 144 = 225 - 144 = 81 \ge 0 $. Верно.

Для $ x=4 $: $ 25(4^2) - 144 = 25 \cdot 16 - 144 = 400 - 144 = 256 \ge 0 $. Верно.

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $x_1 = 3, x_2 = 4$.

4)

Дано иррациональное уравнение: $ x^2 = \sqrt{19x^2 - 34} $.

ОДЗ для данного уравнения определяется условием неотрицательности подкоренного выражения: $ 19x^2 - 34 \ge 0 $.

Левая часть уравнения $ x^2 $ всегда неотрицательна, что соответствует свойству арифметического квадратного корня.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$ (x^2)^2 = (\sqrt{19x^2 - 34})^2 $

$ x^4 = 19x^2 - 34 $

Получили биквадратное уравнение:

$ x^4 - 19x^2 + 34 = 0 $

Сделаем замену $ y = x^2 $ ($ y \ge 0 $):

$ y^2 - 19y + 34 = 0 $

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$ D = (-19)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 34 = 361 - 136 = 225 = 15^2 $

$ y_1 = \frac{19 + 15}{2} = \frac{34}{2} = 17 $

$ y_2 = \frac{19 - 15}{2} = \frac{4}{2} = 2 $

Оба корня положительны, поэтому подходят.

Выполним обратную замену:

1) $ x^2 = 17 \implies x = \pm \sqrt{17} $

2) $ x^2 = 2 \implies x = \pm \sqrt{2} $

Проверим найденные значения по ОДЗ: $ 19x^2 - 34 \ge 0 $.

Для $ x = \pm \sqrt{17} $: $ x^2 = 17 $. $ 19(17) - 34 = 323 - 34 = 289 \ge 0 $. Корни подходят.

Для $ x = \pm \sqrt{2} $: $ x^2 = 2 $. $ 19(2) - 34 = 38 - 34 = 4 \ge 0 $. Корни подходят.

Все четыре найденных значения являются корнями исходного уравнения.

Ответ: $x = \pm \sqrt{2}, x = \pm \sqrt{17}$.

613. 1) $\sqrt[3]{x^3-2} = x-2;$

2) $\sqrt[3]{x^3-5x^2+16x-5} = x-2.$

1) $\sqrt[3]{x^3 - 2} = x - 2$

Для решения данного иррационального уравнения возведем обе его части в третью степень, чтобы избавиться от кубического корня. Это преобразование является равносильным для вещественных чисел, так как функция $y=x^3$ монотонно возрастает на всей числовой оси.

$(\sqrt[3]{x^3 - 2})^3 = (x - 2)^3$

$x^3 - 2 = (x - 2)^3$

Раскроем скобки в правой части уравнения, используя формулу куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

$x^3 - 2 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 - 2^3$

$x^3 - 2 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону и приведем подобные слагаемые. Слагаемые $x^3$ в левой и правой частях взаимно уничтожаются.

$-2 = -6x^2 + 12x - 8$

$6x^2 - 12x - 2 + 8 = 0$

$6x^2 - 12x + 6 = 0$

Разделим обе части полученного квадратного уравнения на 6 для его упрощения.

$x^2 - 2x + 1 = 0$

Левая часть представляет собой полный квадрат разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(x - 1)^2 = 0$

Отсюда следует, что $x - 1 = 0$, и корень уравнения равен $x = 1$.

Выполним проверку, подставив найденное значение в исходное уравнение:

Левая часть: $\sqrt[3]{1^3 - 2} = \sqrt[3]{1 - 2} = \sqrt[3]{-1} = -1$.

Правая часть: $1 - 2 = -1$.

Так как левая и правая части равны ($-1 = -1$), корень найден верно.

Ответ: $1$.

2) $\sqrt[3]{x^3 - 5x^2 + 16x - 5} = x - 2$

Аналогично первому уравнению, возведем обе части в третью степень, чтобы избавиться от знака корня.

$(\sqrt[3]{x^3 - 5x^2 + 16x - 5})^3 = (x - 2)^3$

$x^3 - 5x^2 + 16x - 5 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8$

Перенесем все члены из правой части в левую, приравняв уравнение к нулю, и приведем подобные слагаемые.

$x^3 - 5x^2 + 16x - 5 - x^3 + 6x^2 - 12x + 8 = 0$

$(x^3 - x^3) + (-5x^2 + 6x^2) + (16x - 12x) + (-5 + 8) = 0$

$x^2 + 4x + 3 = 0$

Получили приведенное квадратное уравнение. Решим его. По теореме Виета, сумма корней равна коэффициенту при $x$, взятому с обратным знаком ($-4$), а их произведение равно свободному члену ($3$). Легко подобрать корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = -3$, так как $(-1) + (-3) = -4$ и $(-1) \cdot (-3) = 3$.

Также можно решить уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm 2}{2}$

$x_1 = \frac{-4 - 2}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

$x_2 = \frac{-4 + 2}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Проверим оба найденных корня, подставив их в исходное уравнение.

Проверка для $x = -1$:

Левая часть: $\sqrt[3]{(-1)^3 - 5(-1)^2 + 16(-1) - 5} = \sqrt[3]{-1 - 5(1) - 16 - 5} = \sqrt[3]{-1 - 5 - 16 - 5} = \sqrt[3]{-27} = -3$.

Правая часть: $-1 - 2 = -3$.

Левая часть равна правой, следовательно, $x = -1$ является корнем уравнения.

Проверка для $x = -3$:

Левая часть: $\sqrt[3]{(-3)^3 - 5(-3)^2 + 16(-3) - 5} = \sqrt[3]{-27 - 5(9) - 48 - 5} = \sqrt[3]{-27 - 45 - 48 - 5} = \sqrt[3]{-125} = -5$.

Правая часть: $-3 - 2 = -5$.

Левая часть равна правой, следовательно, $x = -3$ также является корнем уравнения.

Ответ: $-3; -1$.

614. Выяснить с помощью графиков, сколько корней имеет уравнение:

1) $\sqrt{x-6}=-x^2$;

2) $\sqrt[3]{x}=(x-1)^2$;

3) $\sqrt{x+1}=x^2-7$;

4) $1-x^4=\sqrt{x-1}$.

1) Чтобы определить количество корней уравнения $\sqrt{x-6}=-x^2$, построим в одной системе координат графики функций $y=\sqrt{x-6}$ и $y=-x^2$.

График функции $y=\sqrt{x-6}$ – это верхняя ветвь параболы, симметричной относительно оси $Ox$. Она получается из графика функции $y=\sqrt{x}$ сдвигом на 6 единиц вправо вдоль оси $Ox$. Область определения этой функции: $x-6 \ge 0$, то есть $x \ge 6$. Область значений: $y \ge 0$.

График функции $y=-x^2$ – это парабола с вершиной в точке $(0, 0)$, ветви которой направлены вниз. Область значений этой функции: $y \le 0$.

Количество корней исходного уравнения равно количеству точек пересечения этих двух графиков. Найдем, при каких условиях возможно пересечение. Для этого значения функций должны совпадать, то есть $y$ должен быть одновременно неотрицательным ($y \ge 0$) и неположительным ($y \le 0$). Это возможно только если $y=0$.

Найдем, при каких значениях $x$ каждая из функций равна нулю:

$y=\sqrt{x-6}=0 \implies x-6=0 \implies x=6$.

$y=-x^2=0 \implies x=0$.

Поскольку значения $x$, при которых функции обращаются в ноль, различны, то точки $(6, 0)$ и $(0, 0)$ не являются общей точкой. Таким образом, у графиков нет общих точек.

Кроме того, для области определения первой функции ($x \ge 6$) вторая функция $y=-x^2$ всегда принимает отрицательные значения (например, при $x=6$, $y=-36$), в то время как первая функция $y=\sqrt{x-6}$ принимает неотрицательные значения. Следовательно, равенство невозможно.

Ответ: 0 корней.

2) Чтобы определить количество корней уравнения $\sqrt[3]{x}=(x-1)^2$, построим в одной системе координат графики функций $y=\sqrt[3]{x}$ и $y=(x-1)^2$.

График функции $y=\sqrt[3]{x}$ – это кубическая парабола, симметричная относительно начала координат. Функция определена для всех $x \in \mathbb{R}$ и является возрастающей.

График функции $y=(x-1)^2$ – это парабола, полученная сдвигом графика $y=x^2$ на 1 единицу вправо. Вершина параболы находится в точке $(1, 0)$, ветви направлены вверх. Область значений: $y \ge 0$.

Рассмотрим поведение графиков. Поскольку $y=(x-1)^2 \ge 0$, то точки пересечения могут быть только при $x \ge 0$, так как при $x<0$ функция $y=\sqrt[3]{x}$ принимает отрицательные значения.

При $x=0$: $y=\sqrt[3]{0}=0$, а $y=(0-1)^2=1$. График параболы выше.

При $x=1$: $y=\sqrt[3]{1}=1$, а $y=(1-1)^2=0$. График кубического корня выше.

Так как обе функции непрерывны, на интервале $(0, 1)$ существует как минимум одна точка пересечения.

Рассмотрим поведение функций при $x>1$. При $x=1$ график кубического корня находится выше. Однако при больших значениях $x$ парабола растет значительно быстрее, чем кубический корень. Например, при $x=8$: $y=\sqrt[3]{8}=2$, а $y=(8-1)^2=49$. График параболы снова оказывается выше. Следовательно, на интервале $(1, \infty)$ существует еще одна точка пересечения.

Таким образом, графики функций пересекаются в двух точках.

Ответ: 2 корня.

3) Чтобы определить количество корней уравнения $\sqrt{x+1}=x^2-7$, построим в одной системе координат графики функций $y=\sqrt{x+1}$ и $y=x^2-7$.

График функции $y=\sqrt{x+1}$ – это верхняя ветвь параболы, полученная сдвигом графика $y=\sqrt{x}$ на 1 единицу влево. Область определения: $x+1 \ge 0$, то есть $x \ge -1$. Область значений: $y \ge 0$.

График функции $y=x^2-7$ – это парабола с вершиной в точке $(0, -7)$, ветви которой направлены вверх.

Поскольку $y=\sqrt{x+1} \ge 0$, нас интересуют только те участки параболы $y=x^2-7$, где $y \ge 0$. Это происходит при $x^2-7 \ge 0$, то есть при $|x| \ge \sqrt{7}$. Учитывая область определения первой функции ($x \ge -1$), мы ищем точки пересечения при $x \ge \sqrt{7} \approx 2.65$.

Проверим некоторые целочисленные значения $x$ в этой области. Пусть $x=3$.

Для первой функции: $y=\sqrt{3+1}=\sqrt{4}=2$.

Для второй функции: $y=3^2-7=9-7=2$.

Значения совпали, значит, точка $(3, 2)$ является точкой пересечения графиков, а $x=3$ – корень уравнения.

Рассмотрим поведение функций при $x>3$. Функция $y=x^2-7$ (парабола) растет гораздо быстрее, чем функция $y=\sqrt{x+1}$ (корень). Это можно увидеть, сравнив их производные: $(x^2-7)' = 2x$, а $(\sqrt{x+1})' = \frac{1}{2\sqrt{x+1}}$. При $x>3$ производная параболы больше 6, а производная корня меньше $\frac{1}{4}$. Следовательно, других точек пересечения при $x>3$ не будет.

В области $[-1, \sqrt{7})$ функция $y=x^2-7$ принимает отрицательные значения, в то время как функция $y=\sqrt{x+1}$ – неотрицательные. Следовательно, в этой области пересечений нет.

Таким образом, графики имеют только одну точку пересечения.

Ответ: 1 корень.

4) Чтобы определить количество корней уравнения $1-x^4=\sqrt{x-1}$, построим в одной системе координат графики функций $y=1-x^4$ и $y=\sqrt{x-1}$.

График функции $y=\sqrt{x-1}$ – это верхняя ветвь параболы, полученная сдвигом графика $y=\sqrt{x}$ на 1 единицу вправо. Область определения: $x-1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$. Область значений: $y \ge 0$.

График функции $y=1-x^4$ – это график функции $y=-x^4$, сдвинутый на 1 единицу вверх. Вершина находится в точке $(0, 1)$. График симметричен относительно оси $Oy$.

Область определения исходного уравнения задается функцией $y=\sqrt{x-1}$, поэтому $x \ge 1$.

Проверим значение функций в точке $x=1$.

Для первой функции: $y=1-1^4=0$.

Для второй функции: $y=\sqrt{1-1}=0$.

Значения совпали, значит, точка $(1, 0)$ является точкой пересечения, а $x=1$ – корень уравнения.

Рассмотрим поведение функций при $x>1$.

Для функции $y=\sqrt{x-1}$, при $x>1$ значения $y$ будут положительными ($y>0$).

Для функции $y=1-x^4$, при $x>1$ имеем $x^4>1$, следовательно $1-x^4<0$. Значения $y$ будут отрицательными.

Поскольку при $x>1$ одна функция всегда положительна, а другая всегда отрицательна, они не могут пересечься. Следовательно, $x=1$ является единственным корнем.

Ответ: 1 корень.

Решить уравнение (615—616).

615. 1) $\sqrt{4x + 2\sqrt{3x^2 + 4}} = x + 2;$

2) $3 - x = \sqrt{9 - \sqrt{36x^2 - 5x^4}};$

3) $\sqrt{x^2 + 3x + 12} - \sqrt{x^2 + 3x} = 2;$

4) $\sqrt{x^2 + 5x + 10} - \sqrt{x^2 + 5x + 3} = 1.$

1) $\sqrt{4x + 2\sqrt{3x^2 + 4}} = x + 2$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Правая часть уравнения должна быть неотрицательной, так как она равна арифметическому квадратному корню:

$x + 2 \ge 0 \implies x \ge -2$.

Подкоренное выражение $3x^2+4$ всегда положительно, так как $x^2 \ge 0$, а значит $3x^2+4 \ge 4$. Также должно выполняться $4x + 2\sqrt{3x^2 + 4} \ge 0$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$4x + 2\sqrt{3x^2 + 4} = (x + 2)^2$

$4x + 2\sqrt{3x^2 + 4} = x^2 + 4x + 4$

Вычтем $4x$ из обеих частей:

$2\sqrt{3x^2 + 4} = x^2 + 4$

Поскольку $x^2+4 > 0$ для любого $x$, можно снова возвести обе части в квадрат:

$(2\sqrt{3x^2 + 4})^2 = (x^2 + 4)^2$

$4(3x^2 + 4) = x^4 + 8x^2 + 16$

$12x^2 + 16 = x^4 + 8x^2 + 16$

Перенесем все члены в одну сторону:

$x^4 + 8x^2 - 12x^2 + 16 - 16 = 0$

$x^4 - 4x^2 = 0$

Вынесем $x^2$ за скобки:

$x^2(x^2 - 4) = 0$

$x^2(x - 2)(x + 2) = 0$

Отсюда получаем возможные корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$, $x_3 = -2$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию ОДЗ $x \ge -2$.

Все три корня ($0$, $2$, $-2$) удовлетворяют этому условию. Выполним проверку подстановкой в исходное уравнение.

При $x=0$: $\sqrt{4(0) + 2\sqrt{3(0)^2+4}} = \sqrt{0+2\sqrt{4}} = \sqrt{4} = 2$. Правая часть: $0+2=2$. Верно.

При $x=2$: $\sqrt{4(2) + 2\sqrt{3(2)^2+4}} = \sqrt{8+2\sqrt{16}} = \sqrt{8+8} = \sqrt{16} = 4$. Правая часть: $2+2=4$. Верно.

При $x=-2$: $\sqrt{4(-2) + 2\sqrt{3(-2)^2+4}} = \sqrt{-8+2\sqrt{16}} = \sqrt{-8+8} = \sqrt{0} = 0$. Правая часть: $-2+2=0$. Верно.

Ответ: $x = -2, x = 0, x = 2$.

2) $3 - x = \sqrt{9 - \sqrt{36x^2 - 5x^4}}$

Найдем ОДЗ. Во-первых, $3 - x \ge 0 \implies x \le 3$.

Во-вторых, подкоренное выражение $36x^2 - 5x^4$ должно быть неотрицательно:

$36x^2 - 5x^4 \ge 0 \implies x^2(36 - 5x^2) \ge 0$.

Так как $x^2 \ge 0$, то $36 - 5x^2 \ge 0 \implies 5x^2 \le 36 \implies x^2 \le \frac{36}{5} \implies -\frac{6}{\sqrt{5}} \le x \le \frac{6}{\sqrt{5}}$.

Объединяя условия, получаем $-\frac{6}{\sqrt{5}} \le x \le \frac{6}{\sqrt{5}}$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(3 - x)^2 = 9 - \sqrt{36x^2 - 5x^4}$

$9 - 6x + x^2 = 9 - \sqrt{36x^2 - 5x^4}$

$x^2 - 6x = -\sqrt{36x^2 - 5x^4}$

$6x - x^2 = \sqrt{36x^2 - 5x^4}$

Левая часть должна быть неотрицательной: $6x - x^2 \ge 0 \implies x(6 - x) \ge 0 \implies 0 \le x \le 6$.

С учетом ОДЗ, получаем новое ограничение: $0 \le x \le \frac{6}{\sqrt{5}}$.

Возведем последнее уравнение в квадрат:

$(6x - x^2)^2 = 36x^2 - 5x^4$

$36x^2 - 12x^3 + x^4 = 36x^2 - 5x^4$

$6x^4 - 12x^3 = 0$

$6x^3(x - 2) = 0$

Отсюда $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.

Оба корня удовлетворяют условию $0 \le x \le \frac{6}{\sqrt{5}}$, так как $2 = \sqrt{4} < \sqrt{\frac{36}{5}} = \frac{6}{\sqrt{5}}$.

Проверим корни подстановкой в исходное уравнение.

При $x=0$: $3-0 = \sqrt{9 - \sqrt{0}} = \sqrt{9} = 3$. Верно.

При $x=2$: $3-2 = \sqrt{9 - \sqrt{36(2^2) - 5(2^4)}} = \sqrt{9 - \sqrt{144 - 80}} = \sqrt{9 - \sqrt{64}} = \sqrt{9-8} = \sqrt{1} = 1$. Верно.

Ответ: $x = 0, x = 2$.

3) $\sqrt{x^2 + 3x + 12} - \sqrt{x^2 + 3x} = 2$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = x^2 + 3x$. Уравнение примет вид:

$\sqrt{y + 12} - \sqrt{y} = 2$

ОДЗ для $y$: $y \ge 0$ и $y+12 \ge 0$, что в совокупности дает $y \ge 0$.

Перенесем один из корней в правую часть и возведем в квадрат:

$\sqrt{y + 12} = 2 + \sqrt{y}$

$y + 12 = (2 + \sqrt{y})^2$

$y + 12 = 4 + 4\sqrt{y} + y$

$8 = 4\sqrt{y}$

$2 = \sqrt{y}$

Возведем в квадрат еще раз:

$y = 4$

Значение $y=4$ удовлетворяет условию $y \ge 0$.

Вернемся к исходной переменной:

$x^2 + 3x = 4$

$x^2 + 3x - 4 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -4$.

Проверим, выполняется ли для этих корней условие ОДЗ $x^2+3x \ge 0$.

При $x=1$: $1^2+3(1)=4 \ge 0$. Верно.

При $x=-4$: $(-4)^2+3(-4)=16-12=4 \ge 0$. Верно.

Оба корня являются решениями.

Ответ: $x = -4, x = 1$.

4) $\sqrt{x^2 + 5x + 10} - \sqrt{x^2 + 5x + 3} = 1$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = x^2 + 5x + 3$. Тогда $x^2+5x+10 = y+7$. Уравнение примет вид:

$\sqrt{y + 7} - \sqrt{y} = 1$

ОДЗ для $y$: $y \ge 0$ и $y+7 \ge 0$, что дает $y \ge 0$. (Также нужно проверить, что $x^2+5x+3 \ge 0$ для найденных $x$).

Перенесем корень и возведем в квадрат:

$\sqrt{y + 7} = 1 + \sqrt{y}$

$y + 7 = (1 + \sqrt{y})^2$

$y + 7 = 1 + 2\sqrt{y} + y$

$6 = 2\sqrt{y}$

$3 = \sqrt{y}$

Возведем в квадрат:

$y = 9$

Значение $y=9$ удовлетворяет условию $y \ge 0$.

Вернемся к исходной переменной:

$x^2 + 5x + 3 = 9$

$x^2 + 5x - 6 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -6$.

Проверим, выполняется ли для этих корней условие ОДЗ $x^2+5x+3 \ge 0$.

При $x=1$: $1^2+5(1)+3=9 \ge 0$. Верно.

При $x=-6$: $(-6)^2+5(-6)+3=36-30+3=9 \ge 0$. Верно.

Оба корня являются решениями.

Ответ: $x = -6, x = 1$.

616. 1) $ \sqrt{\frac{x^2 - 2x + 3}{x^2 + 2x + 4}} + \sqrt{\frac{x^2 + 2x + 4}{x^2 - 2x + 3}} = \frac{5}{2}; $

2) $ \sqrt{\frac{3x^2 + x}{x^2 - 1}} - \sqrt{\frac{x^2 - 1}{3x^2 + x}} = \frac{3}{2}. $

1) Решим уравнение $ \sqrt{\frac{x^2-2x+3}{x^2+2x+4}} + \sqrt{\frac{x^2+2x+4}{x^2-2x+3}} = \frac{5}{2} $.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под корнем должны быть неотрицательными. Рассмотрим квадратные трехчлены в числителях и знаменателях:

Для $ x^2-2x+3 $, дискриминант $ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8 < 0 $. Так как старший коэффициент (1) положителен, этот трехчлен всегда больше нуля при любом $x$.

Для $ x^2+2x+4 $, дискриминант $ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12 < 0 $. Так как старший коэффициент (1) положителен, этот трехчлен также всегда больше нуля при любом $x$.

Поскольку оба трехчлена всегда положительны, дроби под корнями всегда положительны, и знаменатели никогда не равны нулю. Следовательно, ОДЗ: $ x \in (-\infty, +\infty) $.

Заметим, что второе слагаемое является обратным к первому. Сделаем замену. Пусть $ y = \sqrt{\frac{x^2-2x+3}{x^2+2x+4}} $. Так как выражение под корнем всегда положительно, то $ y > 0 $.

Тогда уравнение принимает вид: $ y + \frac{1}{y} = \frac{5}{2} $.

Умножим обе части на $ 2y $ (так как $ y \neq 0 $):

$ 2y^2 + 2 = 5y $

$ 2y^2 - 5y + 2 = 0 $

Решим это квадратное уравнение относительно $y$:

$ D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2 $

$ y_1 = \frac{5 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $

$ y_2 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2 $

Оба значения $y$ положительны, поэтому оба подходят. Вернемся к исходной переменной $x$.

Случай 1: $ y = \frac{1}{2} $

$ \sqrt{\frac{x^2-2x+3}{x^2+2x+4}} = \frac{1}{2} $

Возведем обе части в квадрат:

$ \frac{x^2-2x+3}{x^2+2x+4} = \frac{1}{4} $

$ 4(x^2-2x+3) = x^2+2x+4 $

$ 4x^2 - 8x + 12 = x^2 + 2x + 4 $

$ 3x^2 - 10x + 8 = 0 $

Решим это квадратное уравнение:

$ D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8 = 100 - 96 = 4 = 2^2 $

$ x_1 = \frac{10 - 2}{2 \cdot 3} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} $

$ x_2 = \frac{10 + 2}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2 $

Случай 2: $ y = 2 $

$ \sqrt{\frac{x^2-2x+3}{x^2+2x+4}} = 2 $

Возведем обе части в квадрат:

$ \frac{x^2-2x+3}{x^2+2x+4} = 4 $

$ x^2-2x+3 = 4(x^2+2x+4) $

$ x^2-2x+3 = 4x^2+8x+16 $

$ 3x^2 + 10x + 13 = 0 $

Найдем дискриминант:

$ D = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot 13 = 100 - 156 = -56 < 0 $

Так как дискриминант отрицательный, в этом случае действительных корней нет.

Ответ: $ \{ \frac{4}{3}; 2 \} $.

2) Решим уравнение $ \sqrt{\frac{3x^2+x}{x^2-1}} - \sqrt{\frac{x^2-1}{3x^2+x}} = \frac{3}{2} $.

Найдем ОДЗ. Выражение под корнем должно быть строго положительным (так как оно также находится в знаменателе во втором слагаемом).

$ \frac{3x^2+x}{x^2-1} > 0 \implies \frac{x(3x+1)}{(x-1)(x+1)} > 0 $

Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя: $ x=0, x=-1/3 $. Нули знаменателя: $ x=1, x=-1 $. Отметим эти точки на числовой оси и определим знаки выражения в каждом интервале:

$(-\infty; -1) \cup (-1/3; 0) \cup (1; +\infty)$

Это и есть ОДЗ.

Сделаем замену. Пусть $ y = \sqrt{\frac{3x^2+x}{x^2-1}} $. По ОДЗ, $ y > 0 $.

Уравнение принимает вид: $ y - \frac{1}{y} = \frac{3}{2} $.

Умножим обе части на $ 2y $ ($ y \neq 0 $):

$ 2y^2 - 2 = 3y $

$ 2y^2 - 3y - 2 = 0 $

Решим это квадратное уравнение относительно $y$:

$ D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2 $

$ y_1 = \frac{3 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} $

$ y_2 = \frac{3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2 $

Так как $ y > 0 $, нам подходит только $ y=2 $.

Вернемся к замене:

$ \sqrt{\frac{3x^2+x}{x^2-1}} = 2 $

Возведем обе части в квадрат:

$ \frac{3x^2+x}{x^2-1} = 4 $

$ 3x^2+x = 4(x^2-1) $

$ 3x^2+x = 4x^2-4 $

$ x^2 - x - 4 = 0 $

Решим это квадратное уравнение:

$ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 1 + 16 = 17 $

$ x_1 = \frac{1 - \sqrt{17}}{2} $, $ x_2 = \frac{1 + \sqrt{17}}{2} $

Проверим, входят ли корни в ОДЗ: $(-\infty; -1) \cup (-1/3; 0) \cup (1; +\infty)$.

Для $ x_1 = \frac{1 - \sqrt{17}}{2} $: так как $ 4 < \sqrt{17} < 5 $, то $ \frac{1-5}{2} < \frac{1-\sqrt{17}}{2} < \frac{1-4}{2} $, что дает $ -2 < x_1 < -1.5 $. Этот корень входит в интервал $ (-\infty; -1) $.

Для $ x_2 = \frac{1 + \sqrt{17}}{2} $: так как $ 4 < \sqrt{17} < 5 $, то $ \frac{1+4}{2} < \frac{1+\sqrt{17}}{2} < \frac{1+5}{2} $, что дает $ 2.5 < x_2 < 3 $. Этот корень входит в интервал $ (1; +\infty) $.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $ \{ \frac{1 - \sqrt{17}}{2}; \frac{1 + \sqrt{17}}{2} \} $.

617. Решить систему уравнений:

1) $\begin{cases} \sqrt{\frac{2x-1}{y+2}} + \sqrt{\frac{y+2}{2x-1}} = 2, \\ x+y=12; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \sqrt{x^2+5} + \sqrt{y^2-5} = 5, \\ x^2+y^2=13. \end{cases}$

1)
Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \sqrt{\frac{2x-1}{y+2}} + \sqrt{\frac{y+2}{2x-1}} = 2 \\ x + y = 12 \end{cases} $$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под корнем должны быть неотрицательными. Так как они также находятся в знаменателе дроби, они должны быть строго положительными: $ \frac{2x-1}{y+2} > 0 $. Это означает, что $2x-1$ и $y+2$ должны иметь одинаковые знаки.
Рассмотрим первое уравнение. Введем замену: пусть $ t = \sqrt{\frac{2x-1}{y+2}} $. Заметим, что $t > 0$. Тогда уравнение примет вид: $ t + \frac{1}{t} = 2 $
Умножим обе части на $t$ (так как $t \neq 0$): $ t^2 + 1 = 2t $ $ t^2 - 2t + 1 = 0 $ $ (t - 1)^2 = 0 $ Отсюда получаем $ t = 1 $.
Вернемся к исходным переменным: $ \sqrt{\frac{2x-1}{y+2}} = 1 $
Возведем обе части в квадрат: $ \frac{2x-1}{y+2} = 1 $ $ 2x - 1 = y + 2 $ $ 2x - y = 3 $
Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений: $$ \begin{cases} 2x - y = 3 \\ x + y = 12 \end{cases} $$ Сложим эти два уравнения: $ (2x - y) + (x + y) = 3 + 12 $ $ 3x = 15 $ $ x = 5 $
Подставим значение $x$ во второе уравнение системы $x + y = 12$: $ 5 + y = 12 $ $ y = 7 $
Проверим найденное решение $(5, 7)$ на соответствие ОДЗ: $ \frac{2(5)-1}{7+2} = \frac{10-1}{9} = \frac{9}{9} = 1 > 0 $. Условие выполнено. Подставим в исходную систему: Первое уравнение: $ \sqrt{\frac{2(5)-1}{7+2}} + \sqrt{\frac{7+2}{2(5)-1}} = \sqrt{1} + \sqrt{1} = 1+1=2 $. Верно. Второе уравнение: $ 5 + 7 = 12 $. Верно.
Ответ: $(5; 7)$.

2)
Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \sqrt{x^2+5} + \sqrt{y^2-5} = 5 \\ x^2 + y^2 = 13 \end{cases} $$ Найдем ОДЗ: $ x^2+5 \ge 0 $ (верно для любого $x$) $ y^2-5 \ge 0 \implies y^2 \ge 5 $.
Введем замену. Пусть $ a = \sqrt{x^2+5} $ и $ b = \sqrt{y^2-5} $. Из ОДЗ следует, что $ a \ge \sqrt{5} $ и $ b \ge 0 $.
Первое уравнение системы примет вид: $ a + b = 5 $
Возведем в квадрат выражения для $a$ и $b$: $ a^2 = x^2+5 \implies x^2 = a^2-5 $ $ b^2 = y^2-5 \implies y^2 = b^2+5 $
Подставим выражения для $x^2$ и $y^2$ во второе уравнение исходной системы $x^2 + y^2 = 13$: $ (a^2-5) + (b^2+5) = 13 $ $ a^2 + b^2 = 13 $
Получили новую систему уравнений для $a$ и $b$: $$ \begin{cases} a + b = 5 \\ a^2 + b^2 = 13 \end{cases} $$ Из первого уравнения выразим $b$: $ b = 5 - a $. Подставим во второе уравнение: $ a^2 + (5-a)^2 = 13 $ $ a^2 + 25 - 10a + a^2 = 13 $ $ 2a^2 - 10a + 12 = 0 $ Разделим на 2: $ a^2 - 5a + 6 = 0 $
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета: $ a_1 = 2, a_2 = 3 $.
Проверим найденные значения $a$ с учетом ограничения $ a \ge \sqrt{5} $. Так как $ \sqrt{5} \approx 2.236 $, то $ a_1 = 2 $ не удовлетворяет условию $ a \ge \sqrt{5} $ (если $a=2$, то $x^2 = 2^2-5 = -1$, что невозможно для действительных $x$). Значение $ a_2 = 3 $ удовлетворяет условию, так как $ 3 > \sqrt{5} $. Итак, единственное решение для $a$ это $a=3$.
Найдем $b$: $ b = 5 - a = 5 - 3 = 2 $. Значение $b=2$ удовлетворяет условию $ b \ge 0 $.
Вернемся к исходным переменным: $ a = \sqrt{x^2+5} = 3 \implies x^2+5 = 9 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2 $. $ b = \sqrt{y^2-5} = 2 \implies y^2-5 = 4 \implies y^2 = 9 \implies y = \pm 3 $.
Проверим условие ОДЗ $ y^2 \ge 5 $. $ (\pm 3)^2 = 9 \ge 5 $. Условие выполнено. Таким образом, получаем четыре пары решений.
Ответ: $(2; 3), (2; -3), (-2; 3), (-2; -3)$.

Решить уравнение (618—619).

618.

1) $\sqrt{x + \sqrt{6x - 9}} + \sqrt{x - \sqrt{6x - 9}} = \sqrt{6}$;

2) $\sqrt{x + \sqrt{x + 11}} + \sqrt{x - \sqrt{x + 11}} = 4$.

1) $\sqrt{x + \sqrt{6x - 9}} + \sqrt{x - \sqrt{6x - 9}} = \sqrt{6}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под корнями должны быть неотрицательными:

1. $6x - 9 \ge 0 \Rightarrow 6x \ge 9 \Rightarrow x \ge \frac{3}{2}$.

2. $x - \sqrt{6x - 9} \ge 0 \Rightarrow x \ge \sqrt{6x - 9}$. Так как $x \ge 3/2 > 0$, можно возвести обе части в квадрат: $x^2 \ge 6x - 9 \Rightarrow x^2 - 6x + 9 \ge 0 \Rightarrow (x - 3)^2 \ge 0$. Это неравенство верно для любых $x$.

3. $x + \sqrt{6x-9} \ge 0$. При $x \ge 3/2$ оба слагаемых неотрицательны, значит и сумма неотрицательна.

Таким образом, ОДЗ: $x \ge \frac{3}{2}$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x + \sqrt{6x - 9}} + \sqrt{x - \sqrt{6x - 9}})^2 = (\sqrt{6})^2$

$(x + \sqrt{6x - 9}) + (x - \sqrt{6x - 9}) + 2 \sqrt{(x + \sqrt{6x - 9})(x - \sqrt{6x - 9})} = 6$

Упростим выражение под корнем, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:

$2x + 2 \sqrt{x^2 - (6x - 9)} = 6$

$2x + 2 \sqrt{x^2 - 6x + 9} = 6$

Под корнем находится полный квадрат:

$2x + 2 \sqrt{(x - 3)^2} = 6$

$2x + 2 |x - 3| = 6$

Разделим обе части на 2:

$x + |x - 3| = 3$

Рассмотрим два случая раскрытия модуля:

Случай 1: $x - 3 \ge 0$, то есть $x \ge 3$.

В этом случае $|x - 3| = x - 3$. Уравнение принимает вид:

$x + (x - 3) = 3$

$2x - 3 = 3$

$2x = 6$

$x = 3$. Этот корень удовлетворяет условию $x \ge 3$.

Случай 2: $x - 3 < 0$, то есть $x < 3$.

В этом случае $|x - 3| = -(x - 3) = 3 - x$. Уравнение принимает вид:

$x + (3 - x) = 3$

$3 = 3$.

Это тождество, значит, решением являются все $x$ из рассматриваемого промежутка. Объединяя с ОДЗ ($x \ge 3/2$), получаем, что решением является интервал $x \in [\frac{3}{2}, 3)$.

Объединяя решения из обоих случаев ($x=3$ и $x \in [\frac{3}{2}, 3)$), получаем окончательное решение.

Ответ: $x \in [\frac{3}{2}, 3]$.

2) $\sqrt{x + \sqrt{x + 11}} + \sqrt{x - \sqrt{x + 11}} = 4$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

1. $x + 11 \ge 0 \Rightarrow x \ge -11$.

2. $x - \sqrt{x + 11} \ge 0 \Rightarrow x \ge \sqrt{x + 11}$. Поскольку правая часть неотрицательна, то и левая должна быть неотрицательной, $x \ge 0$. Возведем в квадрат: $x^2 \ge x + 11 \Rightarrow x^2 - x - 11 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - x - 11 = 0$: $x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(-11)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{45}}{2} = \frac{1 \pm 3\sqrt{5}}{2}$.

Неравенство $x^2 - x - 11 \ge 0$ выполняется при $x \le \frac{1 - 3\sqrt{5}}{2}$ или $x \ge \frac{1 + 3\sqrt{5}}{2}$. Учитывая, что $x \ge 0$, получаем ОДЗ: $x \ge \frac{1 + 3\sqrt{5}}{2}$.

Возведем обе части исходного уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x + \sqrt{x + 11}} + \sqrt{x - \sqrt{x + 11}})^2 = 4^2$

$(x + \sqrt{x + 11}) + (x - \sqrt{x + 11}) + 2 \sqrt{(x + \sqrt{x + 11})(x - \sqrt{x + 11})} = 16$

$2x + 2 \sqrt{x^2 - (x + 11)} = 16$

$2x + 2 \sqrt{x^2 - x - 11} = 16$

Разделим обе части на 2:

$x + \sqrt{x^2 - x - 11} = 8$

Уединим корень:

$\sqrt{x^2 - x - 11} = 8 - x$

Для существования решения правая часть должна быть неотрицательной: $8 - x \ge 0 \Rightarrow x \le 8$.

Возведем обе части снова в квадрат:

$x^2 - x - 11 = (8 - x)^2$

$x^2 - x - 11 = 64 - 16x + x^2$

$-x - 11 = 64 - 16x$

$15x = 75$

$x = 5$

Проверим, удовлетворяет ли корень $x=5$ всем условиям.
1. Проверка ОДЗ: $x \ge \frac{1 + 3\sqrt{5}}{2}$.
$5 \ge \frac{1 + 3\sqrt{5}}{2} \Rightarrow 10 \ge 1 + 3\sqrt{5} \Rightarrow 9 \ge 3\sqrt{5} \Rightarrow 3 \ge \sqrt{5} \Rightarrow 9 \ge 5$. Неравенство верное.
2. Проверка условия $x \le 8$.
$5 \le 8$. Неравенство верное.

Следовательно, $x=5$ является решением уравнения.

Ответ: 5.

619. $\frac{\sqrt{3+x}+\sqrt{3-x}}{\sqrt{3+x}-\sqrt{3-x}}=2$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Выражения под знаком квадратного корня должны быть неотрицательными, а знаменатель дроби не должен обращаться в ноль. Из условий $3+x \ge 0$ и $3-x \ge 0$ следует, что $x \ge -3$ и $x \le 3$, то есть $x \in [-3, 3]$. Условие, что знаменатель не равен нулю, $\sqrt{3+x} - \sqrt{3-x} \neq 0$, равносильно $\sqrt{3+x} \neq \sqrt{3-x}$, что после возведения в квадрат обеих неотрицательных частей дает $3+x \neq 3-x$, или $2x \neq 0$, то есть $x \neq 0$. Итак, окончательная ОДЗ: $x \in [-3, 0) \cup (0, 3]$.

Для упрощения уравнения введем замену: пусть $a = \sqrt{3+x}$ и $b = \sqrt{3-x}$. Тогда исходное уравнение можно переписать в виде: $$ \frac{a+b}{a-b} = 2 $$

Решим это уравнение, домножив обе части на знаменатель $a-b$ (который не равен нулю согласно ОДЗ):
$a+b = 2(a-b)$
$a+b = 2a - 2b$
$3b = a$

Теперь выполним обратную замену, подставив выражения для $a$ и $b$ обратно в полученное равенство: $$ 3\sqrt{3-x} = \sqrt{3+x} $$

Так как обе части уравнения неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, чтобы избавиться от иррациональности:
$(3\sqrt{3-x})^2 = (\sqrt{3+x})^2$
$9(3-x) = 3+x$
$27 - 9x = 3+x$
$x + 9x = 27 - 3$
$10x = 24$
$x = \frac{24}{10} = 2.4$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень $x=2.4$ нашей ОДЗ $x \in [-3, 0) \cup (0, 3]$. Поскольку $-3 \le 2.4 \le 3$ и $2.4 \neq 0$, корень $x=2.4$ является решением уравнения.

Ответ: $2.4$.

Решить систему уравнений (620—621).

620.

1) $\begin{cases} \sqrt[3]{\frac{y}{x}} - 2\sqrt[3]{\frac{x}{y}} = 1, \\ \sqrt{x+y} + \sqrt{x-y+11} = 5; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \sqrt{\frac{x}{y}} - \sqrt{\frac{y}{x}} = \frac{3}{2}, \\ x+y+xy=9. \end{cases}$

Рассмотрим систему уравнений:
$ \begin{cases} \sqrt[3]{\frac{y}{x}} - 2\sqrt[3]{\frac{x}{y}} = 1, \\ \sqrt{x+y} + \sqrt{x-y+11} = 5 \end{cases} $
Начнем с первого уравнения. Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения: $x \neq 0, y \neq 0$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt[3]{\frac{y}{x}}$. Тогда $\sqrt[3]{\frac{x}{y}} = \frac{1}{t}$.
Уравнение принимает вид:
$t - \frac{2}{t} = 1$
Так как $t \neq 0$, умножим обе части на $t$:
$t^2 - 2 = t$
$t^2 - t - 2 = 0$
Это квадратное уравнение. Решим его через дискриминант или по теореме Виета.
Корни уравнения: $t_1 = 2$ и $t_2 = -1$.
Теперь вернемся к исходным переменным, рассмотрев два случая.

Случай 1: $t = 2$
$\sqrt[3]{\frac{y}{x}} = 2$
Возведем обе части в куб:
$\frac{y}{x} = 2^3 = 8 \implies y = 8x$
Подставим это соотношение во второе уравнение системы:
$\sqrt{x+8x} + \sqrt{x-8x+11} = 5$
$\sqrt{9x} + \sqrt{11-7x} = 5$
$3\sqrt{x} + \sqrt{11-7x} = 5$
ОДЗ для этого уравнения: $x \ge 0$ и $11-7x \ge 0 \implies x \le \frac{11}{7}$. Итак, $0 \le x \le \frac{11}{7}$.
Перенесем $3\sqrt{x}$ в правую часть:
$\sqrt{11-7x} = 5 - 3\sqrt{x}$
Правая часть должна быть неотрицательной: $5 - 3\sqrt{x} \ge 0 \implies 3\sqrt{x} \le 5 \implies x \le \frac{25}{9}$. Учитывая ОДЗ, $0 \le x \le \frac{11}{7}$.
Возведем обе части в квадрат:
$11-7x = (5-3\sqrt{x})^2$
$11-7x = 25 - 30\sqrt{x} + 9x$
$30\sqrt{x} = 16x + 14$
$8x - 15\sqrt{x} + 7 = 0$
Сделаем замену $u = \sqrt{x}$ ($u \ge 0$):
$8u^2 - 15u + 7 = 0$
$D = (-15)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 7 = 225 - 224 = 1$
$u_{1,2} = \frac{15 \pm \sqrt{1}}{16} \implies u_1 = \frac{16}{16} = 1, u_2 = \frac{14}{16} = \frac{7}{8}$.
Если $u=1$, то $\sqrt{x}=1 \implies x=1$. Тогда $y=8x=8$. Пара $(1, 8)$ удовлетворяет ОДЗ $0 \le 1 \le \frac{11}{7}$.
Если $u=\frac{7}{8}$, то $\sqrt{x}=\frac{7}{8} \implies x=\frac{49}{64}$. Тогда $y=8x=8 \cdot \frac{49}{64} = \frac{49}{8}$. Пара $(\frac{49}{64}, \frac{49}{8})$ удовлетворяет ОДЗ $0 \le \frac{49}{64} \le \frac{11}{7}$.

Случай 2: $t = -1$
$\sqrt[3]{\frac{y}{x}} = -1$
Возведем обе части в куб:
$\frac{y}{x} = (-1)^3 = -1 \implies y = -x$
Подставим это соотношение во второе уравнение системы:
$\sqrt{x+(-x)} + \sqrt{x-(-x)+11} = 5$
$\sqrt{0} + \sqrt{2x+11} = 5$
$\sqrt{2x+11} = 5$
ОДЗ: $2x+11 \ge 0 \implies x \ge -\frac{11}{2}$.
Возведем обе части в квадрат:
$2x+11 = 25$
$2x = 14$
$x=7$. Это значение удовлетворяет ОДЗ.
Тогда $y=-x=-7$. Получаем пару $(7, -7)$.
Проверим ОДЗ второго уравнения для всех найденных пар:
Для $(1, 8)$: $x+y=9 \ge 0$, $x-y+11 = 1-8+11 = 4 \ge 0$. Подходит.
Для $(\frac{49}{64}, \frac{49}{8})$: $x+y = \frac{49+392}{64} = \frac{441}{64} \ge 0$, $x-y+11 = \frac{49-392}{64}+11 = \frac{-343+704}{64} = \frac{361}{64} \ge 0$. Подходит.
Для $(7, -7)$: $x+y=0 \ge 0$, $x-y+11 = 7-(-7)+11 = 25 \ge 0$. Подходит.
Таким образом, система имеет три решения.

Ответ: $(1, 8)$, $(\frac{49}{64}, \frac{49}{8})$, $(7, -7)$.

Рассмотрим систему уравнений:
$ \begin{cases} \sqrt{\frac{x}{y}} - \sqrt{\frac{y}{x}} = \frac{3}{2}, \\ x+y+xy = 9 \end{cases} $
Из первого уравнения следует, что выражения под корнями должны быть неотрицательны: $\frac{x}{y} \ge 0$ и $\frac{y}{x} \ge 0$. Это возможно только если $x$ и $y$ одного знака и не равны нулю. Так как $\sqrt{\frac{x}{y}} - \sqrt{\frac{y}{x}} \neq 0$, то $x \neq y$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{\frac{x}{y}}$. Так как $x, y$ одного знака, $t$ - действительное положительное число. Тогда $\sqrt{\frac{y}{x}} = \frac{1}{t}$.
Первое уравнение принимает вид:
$t - \frac{1}{t} = \frac{3}{2}$
Умножим обе части на $2t$ (так как $t>0$):
$2t^2 - 2 = 3t$
$2t^2 - 3t - 2 = 0$
Решим это квадратное уравнение:
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$
$t_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{3 \pm 5}{4}$
$t_1 = \frac{8}{4} = 2$
$t_2 = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$
Поскольку $t = \sqrt{\frac{x}{y}} > 0$, корень $t_2 = -\frac{1}{2}$ является посторонним.
Итак, $t=2$. Вернемся к исходным переменным:
$\sqrt{\frac{x}{y}} = 2$
Возведем обе части в квадрат:
$\frac{x}{y} = 4 \implies x = 4y$
Подставим это соотношение во второе уравнение системы:
$(4y) + y + (4y)y = 9$
$5y + 4y^2 = 9$
$4y^2 + 5y - 9 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение относительно $y$:
$D = 5^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-9) = 25 + 144 = 169 = 13^2$
$y_{1,2} = \frac{-5 \pm 13}{8}$
$y_1 = \frac{-5+13}{8} = \frac{8}{8} = 1$
$y_2 = \frac{-5-13}{8} = \frac{-18}{8} = -\frac{9}{4}$
Найдем соответствующие значения $x$ для каждого $y$ из соотношения $x=4y$.

Случай 1: $y_1 = 1$
$x_1 = 4 \cdot 1 = 4$.
Получили решение $(4, 1)$. Значения $x$ и $y$ одного знака (оба положительные), условие ОДЗ выполнено.

Случай 2: $y_2 = -\frac{9}{4}$
$x_2 = 4 \cdot (-\frac{9}{4}) = -9$.
Получили решение $(-9, -\frac{9}{4})$. Значения $x$ и $y$ одного знака (оба отрицательные), условие ОДЗ выполнено.
Проверим оба решения подстановкой в исходную систему.
Для $(4, 1)$: $\sqrt{\frac{4}{1}} - \sqrt{\frac{1}{4}} = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$; $4+1+4\cdot1 = 9$. Верно.
Для $(-9, -\frac{9}{4})$: $\sqrt{\frac{-9}{-9/4}} - \sqrt{\frac{-9/4}{-9}} = \sqrt{4} - \sqrt{\frac{1}{4}} = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$; $-9 - \frac{9}{4} + (-9)(-\frac{9}{4}) = -9 - \frac{9}{4} + \frac{81}{4} = -9 + \frac{72}{4} = -9+18=9$. Верно.
Оба решения подходят.

Ответ: $(4, 1)$, $(-9, -\frac{9}{4})$.

$\begin{cases}\sqrt{7(x-y)} - \sqrt{x+y} = \frac{8}{3}\sqrt{\frac{y}{x}}, \\ \sqrt{7(x-y)} + \sqrt{x+y} = 9\sqrt{\frac{x}{y}};\end{cases}$

2) $\begin{cases}(x^2 - xy + y^2)\sqrt{x^2+y^2} = 185, \\ (x^2 + xy + y^2)\sqrt{x^2+y^2} = 65.\end{cases}$

1)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \sqrt{7(x-y)} - \sqrt{x+y} = \frac{8}{3}\sqrt{\frac{y}{x}} \\ \sqrt{7(x-y)} + \sqrt{x+y} = 9\sqrt{\frac{x}{y}} \end{cases} $$ Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями: $x-y \ge 0 \implies x \ge y$, $x+y \ge 0$, $\frac{y}{x} \ge 0$ и $\frac{x}{y} \ge 0$. Из последних двух условий следует, что $x$ и $y$ одного знака. Если $x < 0$ и $y < 0$, то $x+y < 0$, что противоречит второму условию. Следовательно, $x > 0$ и $y > 0$. Итак, ОДЗ: $x > 0, y > 0, x \ge y$.

Перемножим два уравнения системы: $$ (\sqrt{7(x-y)} - \sqrt{x+y})(\sqrt{7(x-y)} + \sqrt{x+y}) = \left(\frac{8}{3}\sqrt{\frac{y}{x}}\right) \left(9\sqrt{\frac{x}{y}}\right) $$ Левая часть по формуле разности квадратов: $$ (\sqrt{7(x-y)})^2 - (\sqrt{x+y})^2 = 7(x-y) - (x+y) = 7x - 7y - x - y = 6x - 8y $$ Правая часть: $$ \frac{8}{3} \cdot 9 \cdot \sqrt{\frac{y}{x} \cdot \frac{x}{y}} = 8 \cdot 3 \cdot \sqrt{1} = 24 $$ Приравнивая левую и правую части, получаем простое линейное уравнение: $$ 6x - 8y = 24 $$ Разделив обе части на 2, получим: $$ 3x - 4y = 12 $$

Теперь решим систему, состоящую из этого уравнения и одного из исходных. Введем замену $t = \sqrt{\frac{x}{y}}$. Так как $x \ge y > 0$, то $t \ge 1$. Тогда $\frac{x}{y} = t^2$. Из уравнения $3x - 4y = 12$ разделим все члены на $y$ (так как $y > 0$): $$ 3\frac{x}{y} - 4 = \frac{12}{y} \implies 3t^2 - 4 = \frac{12}{y} \implies y = \frac{12}{3t^2 - 4} $$ Для $y>0$ необходимо, чтобы $3t^2 - 4 > 0$, то есть $t^2 > 4/3$. Найдем $x$: $$ x = t^2 y = \frac{12t^2}{3t^2-4} $$

Сложим два исходных уравнения: $$ 2\sqrt{7(x-y)} = 9\sqrt{\frac{x}{y}} + \frac{8}{3}\sqrt{\frac{y}{x}} = 9t + \frac{8}{3t} $$ Вычтем первое уравнение из второго: $$ 2\sqrt{x+y} = 9\sqrt{\frac{x}{y}} - \frac{8}{3}\sqrt{\frac{y}{x}} = 9t - \frac{8}{3t} $$ Разделим второе полученное уравнение на первое: $$ \frac{\sqrt{x+y}}{\sqrt{7(x-y)}} = \frac{9t - 8/(3t)}{9t + 8/(3t)} $$ Возведем обе части в квадрат: $$ \frac{x+y}{7(x-y)} = \left(\frac{9t - 8/(3t)}{9t + 8/(3t)}\right)^2 $$ Разделим числитель и знаменатель в левой части на $y$: $$ \frac{x/y + 1}{7(x/y - 1)} = \frac{t^2+1}{7(t^2-1)} $$ Упростим правую часть: $$ \left(\frac{27t^2-8}{3t} \bigg/ \frac{27t^2+8}{3t}\right)^2 = \left(\frac{27t^2-8}{27t^2+8}\right)^2 $$ Получаем уравнение для $t^2$. Пусть $u = t^2$: $$ \frac{u+1}{7(u-1)} = \left(\frac{27u-8}{27u+8}\right)^2 $$ Проверим, является ли $u = 16/9$ корнем этого уравнения (это значение соответствует паре целых чисел $x=16, y=9$, удовлетворяющей уравнению $3x-4y=12$). Подставляем $u=16/9$: Левая часть: $$ \frac{16/9+1}{7(16/9-1)} = \frac{25/9}{7(7/9)} = \frac{25/9}{49/9} = \frac{25}{49} $$ Правая часть: $$ \left(\frac{27(16/9)-8}{27(16/9)+8}\right)^2 = \left(\frac{3 \cdot 16-8}{3 \cdot 16+8}\right)^2 = \left(\frac{48-8}{48+8}\right)^2 = \left(\frac{40}{56}\right)^2 = \left(\frac{5}{7}\right)^2 = \frac{25}{49} $$ Так как левая и правая части равны, $u = 16/9$ является корнем уравнения.

Итак, мы нашли, что $x/y = 16/9$, откуда $x = \frac{16}{9}y$. Подставим это в полученное ранее линейное уравнение $3x-4y=12$: $$ 3\left(\frac{16}{9}y\right) - 4y = 12 $$ $$ \frac{16}{3}y - 4y = 12 $$ $$ \frac{16y - 12y}{3} = 12 $$ $$ \frac{4y}{3} = 12 \implies y = \frac{12 \cdot 3}{4} = 9 $$ Тогда $x = \frac{16}{9}y = \frac{16}{9} \cdot 9 = 16$. Проверим найденное решение $(16, 9)$ по ОДЗ: $16 > 0, 9 > 0, 16 \ge 9$. Условия выполнены.

Ответ: $(16, 9)$.

2)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} (x^2 - xy + y^2)\sqrt{x^2+y^2} = 185 \\ (x^2 + xy + y^2)\sqrt{x^2+y^2} = 65 \end{cases} $$ Заметим, что если $(x,y)=(0,0)$, то левые части равны 0, что не удовлетворяет системе. Значит, $x^2+y^2 > 0$.

Сложим два уравнения системы: $$ ((x^2 - xy + y^2) + (x^2 + xy + y^2))\sqrt{x^2+y^2} = 185 + 65 $$ $$ (2x^2 + 2y^2)\sqrt{x^2+y^2} = 250 $$ $$ 2(x^2+y^2)\sqrt{x^2+y^2} = 250 $$ $$ (x^2+y^2)^{3/2} = 125 $$ Возведем обе части в степень $2/3$: $$ x^2+y^2 = 125^{2/3} = (\sqrt[3]{125})^2 = 5^2 = 25 $$

Вычтем второе уравнение из первого: $$ ((x^2 - xy + y^2) - (x^2 + xy + y^2))\sqrt{x^2+y^2} = 185 - 65 $$ $$ (-2xy)\sqrt{x^2+y^2} = 120 $$ Мы уже знаем, что $x^2+y^2 = 25$, следовательно, $\sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{25} = 5$. Подставим это значение: $$ -2xy \cdot 5 = 120 $$ $$ -10xy = 120 $$ $$ xy = -12 $$

Теперь мы имеем более простую систему уравнений: $$ \begin{cases} x^2+y^2 = 25 \\ xy = -12 \end{cases} $$ Из второго уравнения выразим $y = -12/x$ (так как $x \ne 0$) и подставим в первое: $$ x^2 + \left(-\frac{12}{x}\right)^2 = 25 $$ $$ x^2 + \frac{144}{x^2} = 25 $$ Умножим на $x^2$: $$ x^4 + 144 = 25x^2 $$ $$ x^4 - 25x^2 + 144 = 0 $$ Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $z = x^2$ ($z>0$): $$ z^2 - 25z + 144 = 0 $$ По теореме Виета, корни этого квадратного уравнения $z_1=9$ и $z_2=16$. Оба корня положительны.

Рассмотрим два случая:
Случай 1: $x^2 = 9 \implies x = 3$ или $x = -3$.

• Если $x=3$, то $y = -12/x = -12/3 = -4$. Получаем решение $(3, -4)$.
• Если $x=-3$, то $y = -12/x = -12/(-3) = 4$. Получаем решение $(-3, 4)$.

Случай 2: $x^2 = 16 \implies x = 4$ или $x = -4$.

• Если $x=4$, то $y = -12/x = -12/4 = -3$. Получаем решение $(4, -3)$.
• Если $x=-4$, то $y = -12/x = -12/(-4) = 3$. Получаем решение $(-4, 3)$.

Ответ: $(3, -4), (-3, 4), (4, -3), (-4, 3)$.