Страница 208 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

622. Решить относительно x уравнение:

1) $\sqrt{x+1} \cdot \sqrt{x-2}=a;$

2) $\sqrt{x} \cdot \sqrt{x+2}=a-1.$

1) $\sqrt{x+1} \cdot \sqrt{x-2} = a$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Выражения под знаком квадратного корня должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} x+1 \geq 0 \\ x-2 \geq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \geq -1 \\ x \geq 2 \end{cases}$

Объединяя эти условия, получаем ОДЗ: $x \geq 2$.

Левая часть уравнения представляет собой произведение арифметических квадратных корней, результат которого всегда неотрицателен. Следовательно, правая часть уравнения также должна быть неотрицательной:

$a \geq 0$

Если $a < 0$, уравнение не имеет действительных решений.

Рассмотрим случай, когда $a \geq 0$. Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней:

$(\sqrt{x+1} \cdot \sqrt{x-2})^2 = a^2$

$(x+1)(x-2) = a^2$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения:

$x^2 - 2x + x - 2 = a^2$

$x^2 - x - 2 - a^2 = 0$

$x^2 - x - (2 + a^2) = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $x$ с помощью формулы для корней:

$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-(2+a^2))}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4(2+a^2)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8 + 4a^2}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{9 + 4a^2}}{2}$

Мы получили два потенциальных решения:

$x_1 = \frac{1 + \sqrt{9 + 4a^2}}{2}$

$x_2 = \frac{1 - \sqrt{9 + 4a^2}}{2}$

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли эти корни нашему ОДЗ ($x \geq 2$).

Проверка для $x_1$:

Так как $a \geq 0$, то $4a^2 \geq 0$, и $\sqrt{9 + 4a^2} \geq \sqrt{9} = 3$.

Тогда $x_1 = \frac{1 + \sqrt{9 + 4a^2}}{2} \geq \frac{1+3}{2} = 2$. Этот корень всегда удовлетворяет ОДЗ при $a \geq 0$.

Проверка для $x_2$:

Как мы уже установили, $\sqrt{9 + 4a^2} \geq 3$.

Тогда $x_2 = \frac{1 - \sqrt{9 + 4a^2}}{2} \leq \frac{1-3}{2} = -1$. Этот корень не удовлетворяет условию $x \geq 2$, следовательно, он является посторонним.

Таким образом, у уравнения есть единственное решение при $a \geq 0$.

Ответ: если $a < 0$, решений нет; если $a \geq 0$, то $x = \frac{1 + \sqrt{9 + 4a^2}}{2}$.

2) $\sqrt{x} \cdot \sqrt{x+2} = a-1$

Определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$:

$\begin{cases} x \geq 0 \\ x+2 \geq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \geq 0 \\ x \geq -2 \end{cases}$

Общим решением системы является $x \geq 0$.

Левая часть уравнения неотрицательна, поэтому правая часть также должна быть неотрицательной:

$a-1 \geq 0 \implies a \geq 1$

Если $a < 1$, уравнение не имеет действительных решений.

Рассмотрим случай, когда $a \geq 1$. Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x} \cdot \sqrt{x+2})^2 = (a-1)^2$

$x(x+2) = (a-1)^2$

$x^2 + 2x = a^2 - 2a + 1$

$x^2 + 2x - (a^2 - 2a + 1) = 0$

$x^2 + 2x - (a-1)^2 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $x$. Удобно использовать формулу для четного второго коэффициента:

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 1 \cdot (-(a-1)^2)}}{1} = -1 \pm \sqrt{1 + (a-1)^2}$

$x = -1 \pm \sqrt{1 + a^2 - 2a + 1} = -1 \pm \sqrt{a^2 - 2a + 2}$

Мы получили два потенциальных решения:

$x_1 = -1 + \sqrt{a^2 - 2a + 2}$

$x_2 = -1 - \sqrt{a^2 - 2a + 2}$

Проверим соответствие корней ОДЗ ($x \geq 0$).

Проверка для $x_1$:

Нам нужно, чтобы выполнялось неравенство $-1 + \sqrt{a^2 - 2a + 2} \geq 0$, что эквивалентно $\sqrt{a^2 - 2a + 2} \geq 1$.

Выражение под корнем можно представить в виде $a^2 - 2a + 2 = (a^2 - 2a + 1) + 1 = (a-1)^2 + 1$.

Так как $(a-1)^2 \geq 0$ для любого $a$, то $(a-1)^2 + 1 \geq 1$.

Следовательно, $\sqrt{a^2 - 2a + 2} = \sqrt{(a-1)^2 + 1} \geq \sqrt{1} = 1$. Неравенство выполняется для всех $a$, включая наше условие $a \geq 1$. Значит, $x_1$ является решением.

Проверка для $x_2$:

Так как $\sqrt{a^2 - 2a + 2} \geq 1$, то $x_2 = -1 - \sqrt{a^2 - 2a + 2} \leq -1 - 1 = -2$. Этот корень не удовлетворяет условию $x \geq 0$ и является посторонним.

Таким образом, при $a \geq 1$ уравнение имеет единственное решение.

Ответ: если $a < 1$, решений нет; если $a \geq 1$, то $x = -1 + \sqrt{a^2 - 2a + 2}$.