Страница 202 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

600. Доказать, что если функции $f(x)$, $g(x)$ и $\varphi(x)$ определены на множестве $X$ и $\varphi(x) \neq 0$ для всех $x \in X$, то уравнения $f(x)=g(x)$ и $f(x)\varphi(x)=g(x)\varphi(x)$ равносильны.

Два уравнения называются равносильными (или эквивалентными) на некотором множестве, если множества их решений на этом множестве совпадают. Чтобы доказать, что уравнения $f(x) = g(x)$ и $f(x)φ(x) = g(x)φ(x)$ равносильны на множестве $X$, необходимо доказать два взаимно обратных утверждения:
1) любой корень первого уравнения является корнем второго;
2) любой корень второго уравнения является корнем первого.

Доказательство прямого следствия: $f(x) = g(x) \implies f(x)φ(x) = g(x)φ(x)$
Пусть $x_0$ — произвольный корень уравнения $f(x) = g(x)$. Это означает, что $x_0$ принадлежит множеству $X$, и для него выполняется верное числовое равенство: $f(x_0) = g(x_0)$.
По условию, функция $φ(x)$ определена для всех $x \in X$, следовательно, она определена и в точке $x_0$. Мы имеем право умножить обе части верного числового равенства на одно и то же число $φ(x_0)$. Получаем: $f(x_0)φ(x_0) = g(x_0)φ(x_0)$.
Это равенство означает, что $x_0$ является корнем уравнения $f(x)φ(x) = g(x)φ(x)$. Таким образом, любой корень первого уравнения является корнем второго.

Доказательство обратного следствия: $f(x)φ(x) = g(x)φ(x) \implies f(x) = g(x)$
Пусть $x_0$ — произвольный корень уравнения $f(x)φ(x) = g(x)φ(x)$. Это означает, что $x_0 \in X$ и для него выполняется равенство: $f(x_0)φ(x_0) = g(x_0)φ(x_0)$.
Перенесем все члены уравнения в левую часть: $f(x_0)φ(x_0) - g(x_0)φ(x_0) = 0$.
Вынесем общий множитель $φ(x_0)$ за скобки: $(f(x_0) - g(x_0)) \cdot φ(x_0) = 0$.
По условию задачи, $φ(x) \neq 0$ для всех $x \in X$. Следовательно, и для $x_0 \in X$ значение $φ(x_0) \neq 0$.
Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Поскольку мы знаем, что множитель $φ(x_0)$ не равен нулю, то для выполнения равенства необходимо, чтобы первый множитель был равен нулю: $f(x_0) - g(x_0) = 0$.
Отсюда следует, что $f(x_0) = g(x_0)$.
Это означает, что $x_0$ является корнем уравнения $f(x) = g(x)$. Таким образом, любой корень второго уравнения является корнем первого.

Поскольку мы доказали, что множества решений обоих уравнений совпадают (каждый корень первого является корнем второго, и наоборот), то уравнения являются равносильными.

Ответ: Утверждение доказано. Уравнения $f(x) = g(x)$ и $f(x)φ(x) = g(x)φ(x)$ равносильны на множестве $X$ при заданных условиях.

601. Доказать, что если функции $f(x)$ и $g(x)$ определены на множестве $X$ и $f(x) > 0, g(x) > 0$ при всех $x \in X$, то

$(f(x) > g(x)) \Leftrightarrow \left(\frac{1}{f(x)} < \frac{1}{g(x)}\right)$.

Для доказательства эквивалентности $(f(x) > g(x)) \Leftrightarrow (\frac{1}{f(x)} < \frac{1}{g(x)})$ при заданных условиях ($f(x) > 0$, $g(x) > 0$) необходимо доказать два взаимно обратных утверждения (импликации).

1. Доказательство прямой импликации: $(f(x) > g(x)) \Rightarrow (\frac{1}{f(x)} < \frac{1}{g(x)})$

Начнем с предположения, что неравенство $f(x) > g(x)$ верно.

По условию задачи, обе функции строго положительны для любого $x \in X$, то есть $f(x) > 0$ и $g(x) > 0$. Следовательно, их произведение $f(x) \cdot g(x)$ также будет строго положительным: $f(x) \cdot g(x) > 0$.

Разделим обе части неравенства $f(x) > g(x)$ на положительное выражение $f(x) \cdot g(x)$. Поскольку мы делим на положительное число, знак неравенства сохраняется:

$\frac{f(x)}{f(x) \cdot g(x)} > \frac{g(x)}{f(x) \cdot g(x)}$

После сокращения дробей в обеих частях, получаем:

$\frac{1}{g(x)} > \frac{1}{f(x)}$

Это неравенство эквивалентно записи $\frac{1}{f(x)} < \frac{1}{g(x)}$, что и требовалось доказать.

2. Доказательство обратной импликации: $(\frac{1}{f(x)} < \frac{1}{g(x)}) \Rightarrow (f(x) > g(x))$

Теперь начнем с предположения, что верно неравенство $\frac{1}{f(x)} < \frac{1}{g(x)}$.

Как и в предыдущем пункте, мы знаем, что произведение $f(x) \cdot g(x)$ является положительным.

Умножим обе части неравенства $\frac{1}{f(x)} < \frac{1}{g(x)}$ на положительное выражение $f(x) \cdot g(x)$. Знак неравенства при умножении на положительное число не изменится:

$\frac{1}{f(x)} \cdot (f(x) \cdot g(x)) < \frac{1}{g(x)} \cdot (f(x) \cdot g(x))$

После сокращения дробей получаем:

$g(x) < f(x)$

Это неравенство эквивалентно записи $f(x) > g(x)$, что и требовалось доказать.

Поскольку доказаны обе импликации (прямая и обратная), то исходное утверждение об эквивалентности является верным.

Ответ: Утверждение доказано.