Номер 601, страница 202 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

601. Доказать, что если функции $f(x)$ и $g(x)$ определены на множестве $X$ и $f(x) > 0, g(x) > 0$ при всех $x \in X$, то

$(f(x) > g(x)) \Leftrightarrow \left(\frac{1}{f(x)} < \frac{1}{g(x)}\right)$.

Для доказательства эквивалентности $(f(x) > g(x)) \Leftrightarrow (\frac{1}{f(x)} < \frac{1}{g(x)})$ при заданных условиях ($f(x) > 0$, $g(x) > 0$) необходимо доказать два взаимно обратных утверждения (импликации).

1. Доказательство прямой импликации: $(f(x) > g(x)) \Rightarrow (\frac{1}{f(x)} < \frac{1}{g(x)})$

Начнем с предположения, что неравенство $f(x) > g(x)$ верно.

По условию задачи, обе функции строго положительны для любого $x \in X$, то есть $f(x) > 0$ и $g(x) > 0$. Следовательно, их произведение $f(x) \cdot g(x)$ также будет строго положительным: $f(x) \cdot g(x) > 0$.

Разделим обе части неравенства $f(x) > g(x)$ на положительное выражение $f(x) \cdot g(x)$. Поскольку мы делим на положительное число, знак неравенства сохраняется:

$\frac{f(x)}{f(x) \cdot g(x)} > \frac{g(x)}{f(x) \cdot g(x)}$

После сокращения дробей в обеих частях, получаем:

$\frac{1}{g(x)} > \frac{1}{f(x)}$

Это неравенство эквивалентно записи $\frac{1}{f(x)} < \frac{1}{g(x)}$, что и требовалось доказать.

2. Доказательство обратной импликации: $(\frac{1}{f(x)} < \frac{1}{g(x)}) \Rightarrow (f(x) > g(x))$

Теперь начнем с предположения, что верно неравенство $\frac{1}{f(x)} < \frac{1}{g(x)}$.

Как и в предыдущем пункте, мы знаем, что произведение $f(x) \cdot g(x)$ является положительным.

Умножим обе части неравенства $\frac{1}{f(x)} < \frac{1}{g(x)}$ на положительное выражение $f(x) \cdot g(x)$. Знак неравенства при умножении на положительное число не изменится:

$\frac{1}{f(x)} \cdot (f(x) \cdot g(x)) < \frac{1}{g(x)} \cdot (f(x) \cdot g(x))$

После сокращения дробей получаем:

$g(x) < f(x)$

Это неравенство эквивалентно записи $f(x) > g(x)$, что и требовалось доказать.

Поскольку доказаны обе импликации (прямая и обратная), то исходное утверждение об эквивалентности является верным.

Ответ: Утверждение доказано.