Номер 596, страница 201 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

596. Установить, какое из двух уравнений является следствием другого уравнения:

1) $ \left|x\right| = \sqrt{6} $ и $ \sqrt{x^2} = 6 $;

2) $ \frac{x-2}{x+3} = \frac{x-3}{x+2} $ и $ (x-2)(x+2) = (x-3)(x+3) $.

Для того чтобы установить, какое из двух уравнений является следствием другого, необходимо найти множества решений каждого уравнения и сравнить их. Уравнение (2) является следствием уравнения (1), если множество решений уравнения (1) является подмножеством множества решений уравнения (2). Если множества решений совпадают, то уравнения называются равносильными, и в этом случае каждое из них является следствием другого.

Рассмотрим первое уравнение: $|x| = \sqrt{6}$.
Это уравнение имеет два корня: $x_1 = \sqrt{6}$ и $x_2 = -\sqrt{6}$.
Множество его решений: $M_1 = \{-\sqrt{6}, \sqrt{6}\}$.

Рассмотрим второе уравнение: $\sqrt{x^2} = 6$.
Используя тождество $\sqrt{a^2} = |a|$, мы можем переписать это уравнение в виде $|x| = 6$.
Это уравнение также имеет два корня: $x_1 = 6$ и $x_2 = -6$.
Множество его решений: $M_2 = \{-6, 6\}$.

Сравним множества решений $M_1$ и $M_2$.
$M_1 = \{-\sqrt{6}, \sqrt{6}\}$ и $M_2 = \{-6, 6\}$.
Эти множества не имеют общих элементов. Ни одно из них не является подмножеством другого ($M_1 \not\subset M_2$ и $M_2 \not\subset M_1$).
Следовательно, ни одно из этих уравнений не является следствием другого.

Ответ: Ни одно из уравнений не является следствием другого, так как множества их решений не пересекаются.

Рассмотрим первое уравнение: $\frac{x-2}{x+3} = \frac{x-3}{x+2}$.
Это дробно-рациональное уравнение. Его область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, что знаменатели не равны нулю:
$x+3 \neq 0 \implies x \neq -3$
$x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$
Таким образом, ОДЗ: $x \in \mathbb{R} \setminus \{-3, -2\}$.

Для решения уравнения в его ОДЗ, воспользуемся основным свойством пропорции (перекрестным умножением):
$(x-2)(x+2) = (x-3)(x+3)$
Применяя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, получаем:
$x^2 - 4 = x^2 - 9$
Вычитая $x^2$ из обеих частей, приходим к неверному равенству:
$-4 = -9$
Это означает, что исходное уравнение не имеет решений. Множество его решений пусто: $M_1 = \emptyset$.

Рассмотрим второе уравнение: $(x-2)(x+2) = (x-3)(x+3)$.
Это целое алгебраическое уравнение, его ОДЗ — все действительные числа.
Преобразуем его так же, как и в предыдущем пункте:
$x^2 - 4 = x^2 - 9$
$-4 = -9$
Это уравнение также не имеет решений. Множество его решений пусто: $M_2 = \emptyset$.

Сравним множества решений $M_1$ и $M_2$. Оба множества пусты: $M_1 = M_2 = \emptyset$.
Поскольку множества решений совпадают, уравнения являются равносильными. В случае равносильных уравнений каждое является следствием другого.

Ответ: Уравнения являются равносильными, так как оба не имеют решений. Следовательно, каждое из них является следствием другого.