Номер 592, страница 201 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

592. Решить уравнение:

1) $ \frac{2x}{x+1} + \frac{3x}{x-1} = \frac{6x}{x^2-1}; $

2) $ \frac{x-1}{x-2} - \frac{2}{x} = \frac{1}{x-2}; $

3) $ (x-3)(x-5) = 3(x-5); $

4) $ (x-2)(x^2+1) = 2(x^2+1). $

1) $\frac{2x}{x+1} + \frac{3x}{x-1} = \frac{6x}{x^2-1}$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:
$x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$
$x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$
$x^2-1 = (x-1)(x+1) \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$ и $x \neq -1$.
Итак, ОДЗ: $x \neq \pm 1$.

Приведем все дроби к общему знаменателю $x^2-1 = (x-1)(x+1)$. Для этого умножим обе части уравнения на $(x^2-1)$:
$\frac{2x(x-1)}{x^2-1} + \frac{3x(x+1)}{x^2-1} = \frac{6x}{x^2-1}$
Умножив на общий знаменатель, получим:
$2x(x-1) + 3x(x+1) = 6x$

Раскроем скобки и упростим выражение:
$2x^2 - 2x + 3x^2 + 3x = 6x$
$5x^2 + x = 6x$

Перенесем все члены в левую часть и решим полученное уравнение:
$5x^2 + x - 6x = 0$
$5x^2 - 5x = 0$
Вынесем общий множитель $5x$ за скобки:
$5x(x-1) = 0$

Отсюда получаем два возможных корня:
$5x = 0 \Rightarrow x_1 = 0$
$x-1 = 0 \Rightarrow x_2 = 1$

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ.
Корень $x_1 = 0$ удовлетворяет условию $x \neq \pm 1$.
Корень $x_2 = 1$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при $x=1$ знаменатель обращается в ноль. Следовательно, это посторонний корень.

Ответ: $0$.

2) $\frac{x-1}{x-2} - \frac{2}{x} = \frac{1}{x-2}$

Определим ОДЗ. Знаменатели не могут быть равны нулю:
$x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$
$x \neq 0$
Итак, ОДЗ: $x \neq 0$ и $x \neq 2$.

Перенесем член $\frac{1}{x-2}$ в левую часть уравнения:
$\frac{x-1}{x-2} - \frac{1}{x-2} - \frac{2}{x} = 0$

Сгруппируем дроби с одинаковыми знаменателями:
$\frac{(x-1)-1}{x-2} - \frac{2}{x} = 0$
$\frac{x-2}{x-2} - \frac{2}{x} = 0$

Поскольку в ОДЗ $x \neq 2$, то дробь $\frac{x-2}{x-2}$ равна 1:
$1 - \frac{2}{x} = 0$

Решим полученное уравнение:
$1 = \frac{2}{x}$
$x = 2$

Сравним полученный корень с ОДЗ. Корень $x=2$ не входит в область допустимых значений. Следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: нет корней.

3) $(x-3)(x-5) = 3(x-5)$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:
$(x-3)(x-5) - 3(x-5) = 0$

Вынесем общий множитель $(x-5)$ за скобки:
$(x-5)((x-3) - 3) = 0$
$(x-5)(x-6) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравняем каждый множитель к нулю:
$x-5 = 0 \Rightarrow x_1 = 5$
$x-6 = 0 \Rightarrow x_2 = 6$

Данное уравнение не имеет ограничений на область допустимых значений, поэтому оба корня являются решениями.

Ответ: $5; 6$.

4) $(x-2)(x^2+1) = 2(x^2+1)$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:
$(x-2)(x^2+1) - 2(x^2+1) = 0$

Вынесем общий множитель $(x^2+1)$ за скобки:
$(x^2+1)((x-2) - 2) = 0$
$(x^2+1)(x-4) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
$x^2+1 = 0$ или $x-4 = 0$

Рассмотрим первое уравнение:
$x^2+1 = 0 \Rightarrow x^2 = -1$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен.

Рассмотрим второе уравнение:
$x-4 = 0 \Rightarrow x = 4$

Единственным решением уравнения является $x=4$.

Ответ: $4$.