Номер 587, страница 200 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

587. Решить уравнение:

1) $(x + 9) \cdot 3 = 2x + 17;$

2) $x^2 + \frac{1}{x^2 - 4} = 4 + \frac{1}{x^2 - 4};$

3) $\frac{x - 2}{x^2 - 1} = \frac{1 - 2x}{x^2 - 1};$

4) $\frac{5x - 15}{(x - 3)(x + 2)} = \frac{2}{x + 2}.$

1) $(x + 9) \cdot 3 = 2x + 17$

Это линейное уравнение. Для его решения сначала раскроем скобки в левой части:

$3 \cdot x + 3 \cdot 9 = 2x + 17$

$3x + 27 = 2x + 17$

Теперь перенесем слагаемые, содержащие переменную $x$, в левую часть уравнения, а свободные члены — в правую, меняя их знаки на противоположные:

$3x - 2x = 17 - 27$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

$x = -10$

Ответ: $-10$

2) $x^2 + \frac{1}{x^2 - 4} = 4 + \frac{1}{x^2 - 4}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю:

$x^2 - 4 \neq 0$

$x^2 \neq 4$

Это означает, что $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

В левой и правой частях уравнения есть одинаковый член $\frac{1}{x^2 - 4}$. Мы можем вычесть его из обеих частей уравнения:

$x^2 + \frac{1}{x^2 - 4} - \frac{1}{x^2 - 4} = 4 + \frac{1}{x^2 - 4} - \frac{1}{x^2 - 4}$

Уравнение упрощается до:

$x^2 = 4$

Решениями этого уравнения являются $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Однако, оба полученных значения не входят в область допустимых значений, так как при $x=2$ и $x=-2$ знаменатель исходной дроби обращается в ноль. Следовательно, исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: корней нет

3) $\frac{x - 2}{x^2 - 1} = \frac{1 - 2x}{x^2 - 1}$

Найдем ОДЗ. Знаменатель не должен равняться нулю:

$x^2 - 1 \neq 0$

$x^2 \neq 1$

Следовательно, $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Поскольку знаменатели дробей в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их числители (при условии, что мы находимся в ОДЗ):

$x - 2 = 1 - 2x$

Решим полученное линейное уравнение. Перенесем члены с $x$ в левую часть, а константы — в правую:

$x + 2x = 1 + 2$

$3x = 3$

$x = \frac{3}{3}$

$x = 1$

Сравним полученный корень с ОДЗ. Значение $x = 1$ не входит в область допустимых значений. Таким образом, у уравнения нет решений.

Ответ: корней нет

4) $\frac{5x - 15}{(x - 3)(x + 2)} = \frac{2}{x + 2}$

Найдем ОДЗ, приравняв знаменатели к нулю:

$(x - 3)(x + 2) \neq 0$

Отсюда следует, что $x \neq 3$ и $x \neq -2$.

Преобразуем числитель левой части, вынеся общий множитель 5 за скобки:

$5x - 15 = 5(x - 3)$

Подставим это выражение в уравнение:

$\frac{5(x - 3)}{(x - 3)(x + 2)} = \frac{2}{x + 2}$

Так как из ОДЗ мы знаем, что $x \neq 3$, то выражение $(x - 3)$ не равно нулю, и мы можем сократить на него дробь в левой части:

$\frac{5}{x + 2} = \frac{2}{x + 2}$

Перенесем правую часть влево:

$\frac{5}{x + 2} - \frac{2}{x + 2} = 0$

$\frac{5 - 2}{x + 2} = 0$

$\frac{3}{x + 2} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. В нашем случае числитель равен 3, что не является нулем. Следовательно, это уравнение не имеет решений.

Ответ: корней нет