Номер 580, страница 192 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

580. Найти функцию, обратную к данной:

1) $y = -x^{\frac{1}{2}}$;

2) $y = -x^{\frac{3}{5}}$;

3) $y = x^{\frac{3}{2}}$;

4) $y = -x^{\frac{1}{3}}$.

1) Дана функция $y = -x^{\frac{1}{2}}$.

Для нахождения функции, обратной к данной, необходимо выразить переменную $x$ через $y$ из уравнения функции, а затем поменять переменные $x$ и $y$ местами.

Исходное уравнение: $y = -x^{\frac{1}{2}}$. Это эквивалентно записи $y = -\sqrt{x}$.

Область определения данной функции (ОДЗ) определяется условием $x \ge 0$. Область значений функции: $y \le 0$.

Выразим $x$ через $y$:

$y = -\sqrt{x}$

$-y = \sqrt{x}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(-y)^2 = (\sqrt{x})^2$

$y^2 = x$, или $x = y^2$.

Теперь поменяем местами $x$ и $y$, чтобы получить обратную функцию в стандартном виде:

$y = x^2$.

Область определения обратной функции совпадает с областью значений исходной функции, то есть $x \le 0$.

Ответ: $y=x^2$

2) Дана функция $y = -x^{\frac{3}{5}}$.

Это степенная функция с дробным показателем. Ее можно записать как $y = -(\sqrt[5]{x})^3$.

Область определения и область значений данной функции — все действительные числа, то есть $x \in (-\infty, +\infty)$ и $y \in (-\infty, +\infty)$.

Чтобы найти обратную функцию, выразим $x$ через $y$:

$y = -x^{\frac{3}{5}}$

$-y = x^{\frac{3}{5}}$

Возведем обе части уравнения в степень $\frac{5}{3}$:

$(-y)^{\frac{5}{3}} = (x^{\frac{3}{5}})^{\frac{5}{3}}$

$x = (-y)^{\frac{5}{3}}$

Используя свойство степеней, $(-a)^b = -a^b$ для нечетного знаменателя в $b$, получаем:

$x = -y^{\frac{5}{3}}$

Поменяем местами $x$ и $y$:

$y = -x^{\frac{5}{3}}$

Ответ: $y=-x^{\frac{5}{3}}$

3) Дана функция $y = x^{\frac{3}{2}}$.

Функцию можно записать как $y = (\sqrt{x})^3$.

Область определения функции (ОДЗ): $x \ge 0$. Область значений: $y \ge 0$.

Выразим $x$ через $y$:

$y = x^{\frac{3}{2}}$

Возведем обе части уравнения в степень $\frac{2}{3}$:

$y^{\frac{2}{3}} = (x^{\frac{3}{2}})^{\frac{2}{3}}$

$x = y^{\frac{2}{3}}$

Поменяем местами $x$ и $y$ для получения обратной функции:

$y = x^{\frac{2}{3}}$

Область определения обратной функции: $x \ge 0$.

Ответ: $y=x^{\frac{2}{3}}$

4) Дана функция $y = -x^{\frac{1}{3}}$.

Функцию можно записать как $y = -\sqrt[3]{x}$.

Область определения и область значений для данной функции — все действительные числа, $x \in (-\infty, +\infty)$ и $y \in (-\infty, +\infty)$.

Найдем обратную функцию, выразив $x$ через $y$:

$y = -x^{\frac{1}{3}}$

$-y = x^{\frac{1}{3}}$

Возведем обе части уравнения в куб:

$(-y)^3 = (x^{\frac{1}{3}})^3$

$-y^3 = x$, или $x = -y^3$.

Поменяем местами $x$ и $y$:

$y = -x^3$.

Ответ: $y=-x^3$