Номер 579, страница 191 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

579. Выяснить, являются ли взаимно обратными функции:

1) $y=-x^3$ и $y=-\sqrt[3]{x}$;

2) $y=-x^5$ и $y=\sqrt[5]{x}$;

3) $y=x^{-3}$ и $y=\frac{1}{\sqrt[3]{x}}$;

4) $y=\sqrt[5]{x^3}$ и $y=\sqrt[3]{x^5}$.

Две функции $y=f(x)$ и $y=g(x)$ являются взаимно обратными, если для всех $x$ из области определения одной функции и соответствующих значений $y$ из области определения другой выполняется равенство $f(g(x))=x$ и $g(f(x))=x$. Чтобы проверить это, можно для одной из функций, например $y=f(x)$, найти обратную. Для этого нужно выразить $x$ через $y$, а затем поменять переменные $x$ и $y$ местами. Если полученная функция совпадает с $y=g(x)$, то функции являются взаимно обратными.

1) $y=-x^3$ и $y=-\sqrt[3]{x}$

Найдем функцию, обратную для $y=-x^3$.
1. Выразим $x$ через $y$ из уравнения $y=-x^3$:
$x^3 = -y$
$x = \sqrt[3]{-y}$
Поскольку корень нечетной степени из отрицательного числа равен корню из противоположного ему положительного числа, взятому со знаком минус, получаем:
$x = -\sqrt[3]{y}$
2. Поменяем местами переменные $x$ и $y$:
$y = -\sqrt[3]{x}$
Полученная функция совпадает со второй данной функцией. Следовательно, функции являются взаимно обратными.
Проверка:
Пусть $f(x) = -x^3$ и $g(x) = -\sqrt[3]{x}$.
$f(g(x)) = -(-\sqrt[3]{x})^3 = -(-x) = x$
$g(f(x)) = -\sqrt[3]{-x^3} = -(-\sqrt[3]{x^3}) = -(-x) = x$
Равенства выполняются, значит, функции взаимно обратные.
Ответ: да, являются.

2) $y=-x^5$ и $y=\sqrt[5]{x}$

Найдем функцию, обратную для $y=-x^5$.
1. Выразим $x$ через $y$ из уравнения $y=-x^5$:
$x^5 = -y$
$x = \sqrt[5]{-y}$
$x = -\sqrt[5]{y}$
2. Поменяем местами переменные $x$ и $y$:
$y = -\sqrt[5]{x}$
Полученная функция $y = -\sqrt[5]{x}$ не совпадает со второй данной функцией $y=\sqrt[5]{x}$ (кроме точки $x=0$). Следовательно, функции не являются взаимно обратными.
Проверка:
Пусть $f(x) = -x^5$ и $g(x) = \sqrt[5]{x}$.
$f(g(x)) = -(\sqrt[5]{x})^5 = -x$
Так как $f(g(x)) = -x \neq x$, функции не являются взаимно обратными.
Ответ: нет, не являются.

3) $y=x^{-3}$ и $y=\frac{1}{\sqrt[3]{x}}$

Найдем функцию, обратную для $y=x^{-3}$. Заметим, что $x^{-3} = \frac{1}{x^3}$. Область определения обеих функций: $x \neq 0$.
1. Выразим $x$ через $y$ из уравнения $y=\frac{1}{x^3}$:
$x^3 = \frac{1}{y}$
$x = \sqrt[3]{\frac{1}{y}}$
$x = \frac{1}{\sqrt[3]{y}}$
2. Поменяем местами переменные $x$ и $y$:
$y = \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$
Полученная функция совпадает со второй данной функцией. Следовательно, функции являются взаимно обратными.
Проверка:
Пусть $f(x) = x^{-3}$ и $g(x) = \frac{1}{\sqrt[3]{x}} = x^{-1/3}$.
$f(g(x)) = (x^{-1/3})^{-3} = x^{(-1/3) \cdot (-3)} = x^1 = x$
$g(f(x)) = (x^{-3})^{-1/3} = x^{(-3) \cdot (-1/3)} = x^1 = x$
Равенства выполняются, значит, функции взаимно обратные.
Ответ: да, являются.

4) $y=\sqrt[5]{x^3}$ и $y=\sqrt[3]{x^5}$

Найдем функцию, обратную для $y=\sqrt[5]{x^3}$. Запишем функцию в виде $y=x^{3/5}$.
1. Выразим $x$ через $y$ из уравнения $y=x^{3/5}$:
Возведем обе части в 5-ю степень:
$y^5 = (x^{3/5})^5 = x^3$
Извлечем кубический корень из обеих частей:
$\sqrt[3]{y^5} = x$, или $x = y^{5/3}$
2. Поменяем местами переменные $x$ и $y$:
$y = x^{5/3}$
Запишем полученную функцию в виде корня: $y = \sqrt[3]{x^5}$.
Эта функция совпадает со второй данной функцией. Следовательно, функции являются взаимно обратными.
Проверка:
Пусть $f(x) = x^{3/5}$ и $g(x) = x^{5/3}$.
$f(g(x)) = (x^{5/3})^{3/5} = x^{(5/3) \cdot (3/5)} = x^1 = x$
$g(f(x)) = (x^{3/5})^{5/3} = x^{(3/5) \cdot (5/3)} = x^1 = x$
Равенства выполняются, значит, функции взаимно обратные.
Ответ: да, являются.