Номер 572, страница 185 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

572. Вес тела на высоте $h$ от поверхности Земли можно найти по формуле $p_h = \left(\frac{R}{R+h}\right)^2 \cdot p_0$, где $p_h$ — вес на расстоянии $h$ км над поверхностью Земли, $R$ — радиус Земли (принять равным 6400 км), $p_0$ — вес тела на уровне моря, $h$ — расстояние от поверхности Земли.

1) Изобразить схематически график изменения веса тела человека при подъёме на расстояние, равное $0, R, 2R, 3R, \ldots$, если его вес на уровне моря равен 50 кг.

2) На какой высоте над поверхностью Земли вес тела уменьшится вдвое?

В задаче рассматривается зависимость веса тела от высоты над поверхностью Земли, описываемая формулой $P_h = \left(\frac{R}{R+h}\right)^2 \cdot P_0$.

Здесь:

• $P_h$ — вес на высоте $h$ над поверхностью Земли.
• $P_0$ — вес тела на уровне моря (в данном случае $P_0 = 50$ кг).
• $R$ — радиус Земли (принят равным $6400$ км).
• $h$ — высота над поверхностью Земли.

1) Изобразить схематически график изменения веса тела человека при подъёме на расстояние, равное 0, R, 2R, 3R, ..., если его вес на уровне моря равен 50 кг

Для построения схематического графика рассчитаем контрольные точки, то есть значения веса $P_h$ на заданных высотах.

При $h=0$ (на поверхности Земли):
$P_{h=0} = \left(\frac{R}{R+0}\right)^2 \cdot P_0 = 1^2 \cdot 50 = 50$ кг.
Координаты точки: $(0; 50)$.

При $h=R$ (на высоте, равной радиусу Земли):
$P_{h=R} = \left(\frac{R}{R+R}\right)^2 \cdot P_0 = \left(\frac{R}{2R}\right)^2 \cdot 50 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot 50 = \frac{1}{4} \cdot 50 = 12,5$ кг.
Координаты точки: $(R; 12,5)$.

При $h=2R$:
$P_{h=2R} = \left(\frac{R}{R+2R}\right)^2 \cdot P_0 = \left(\frac{R}{3R}\right)^2 \cdot 50 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 \cdot 50 = \frac{1}{9} \cdot 50 \approx 5,56$ кг.
Координаты точки: $(2R; \approx 5,56)$.

При $h=3R$:
$P_{h=3R} = \left(\frac{R}{R+3R}\right)^2 \cdot P_0 = \left(\frac{R}{4R}\right)^2 \cdot 50 = \left(\frac{1}{4}\right)^2 \cdot 50 = \frac{1}{16} \cdot 50 = 3,125$ кг.
Координаты точки: $(3R; 3,125)$.

Схематический график — это кривая, которая начинается на оси веса (ось ординат) в точке $(0; 50)$. С увеличением высоты $h$ (ось абсцисс) вес плавно и нелинейно уменьшается, асимптотически приближаясь к нулю (к оси высот).

Ответ: Ключевые точки для построения графика (высота; вес в кг): $(0; 50)$, $(R; 12,5)$, $(2R; \approx 5,56)$, $(3R; 3,125)$. График представляет собой гладкую убывающую кривую, которая начинается в точке $(0; 50)$ и асимптотически стремится к оси высот.

2) На какой высоте над поверхностью Земли вес тела уменьшится вдвое?

Чтобы найти искомую высоту $h$, необходимо решить уравнение для условия, что вес на этой высоте станет равен половине веса на уровне моря: $P_h = \frac{1}{2}P_0$.

Подставим это условие в исходную формулу:

$\frac{1}{2}P_0 = \left(\frac{R}{R+h}\right)^2 \cdot P_0$

Сократим обе части уравнения на $P_0$ (поскольку вес не равен нулю):

$\frac{1}{2} = \left(\frac{R}{R+h}\right)^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей. Так как $R$ и $h$ являются положительными физическими величинами, мы рассматриваем только положительный корень:

$\sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{R}{R+h}$

$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{R}{R+h}$

Теперь выразим $h$ из полученного уравнения:

$R+h = R\sqrt{2}$

$h = R\sqrt{2} - R = R(\sqrt{2}-1)$

Подставим числовые значения $R = 6400$ км и $\sqrt{2} \approx 1,4142$:

$h \approx 6400 \cdot (1,4142 - 1) = 6400 \cdot 0,4142 = 2650,88$ км.

Округлим результат до целого значения.

Ответ: Вес тела уменьшится вдвое на высоте $h = R(\sqrt{2}-1) \approx 2651$ км над поверхностью Земли.