Номер 567, страница 184 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

567. Изобразить схематически график функции и найти её область определения и множество значений; выяснить, является ли функция возрастающей (убывающей); является ли функция ограниченной:

1) $y = x^{\frac{1}{\pi}} - 1$;

2) $y = (x+1)^{-\sqrt{2}}$;

3) $y = (x-2)^{-2}$.

1) Рассмотрим функцию $y = x^{\frac{1}{\pi}} - 1$.

Для построения схематического графика учтем, что это степенная функция $y=x^a$ с показателем $a = \frac{1}{\pi} \approx 0.318$, смещенная на 1 единицу вниз по оси ординат. Так как $0 < a < 1$, график функции $y = x^{\frac{1}{\pi}}$ представляет собой возрастающую кривую, которая является вогнутой вниз (похожа на ветвь параболы $x=y^k$ при $k>1$). График функции $y = x^{\frac{1}{\pi}} - 1$ получается сдвигом предыдущего графика на 1 единицу вниз. Он начинается в точке $(0, -1)$, пересекает ось абсцисс в точке $(1, 0)$ и уходит в бесконечность.

Область определения: поскольку показатель степени $\frac{1}{\pi}$ является иррациональным числом, основание степени $x$ должно быть неотрицательным. Таким образом, $x \ge 0$. Область определения $D(y) = [0, +\infty)$.

Множество значений: при $x \in [0, +\infty)$ выражение $x^{\frac{1}{\pi}}$ принимает значения из промежутка $[0, +\infty)$. Следовательно, функция $y = x^{\frac{1}{\pi}} - 1$ принимает значения из промежутка $[-1, +\infty)$. Множество значений $E(y) = [-1, +\infty)$.

Монотонность: найдем производную функции: $y' = (x^{\frac{1}{\pi}} - 1)' = \frac{1}{\pi}x^{\frac{1}{\pi} - 1} = \frac{1}{\pi}x^{\frac{1-\pi}{\pi}}$. Так как $\pi \approx 3.14$, то $1-\pi < 0$. В области определения $x > 0$ имеем $x^{\frac{1-\pi}{\pi}} > 0$. Поскольку $\frac{1}{\pi} > 0$, производная $y' > 0$ для всех $x > 0$. Следовательно, функция является возрастающей на всей своей области определения.

Ограниченность: множество значений функции $E(y) = [-1, +\infty)$. Это означает, что функция ограничена снизу числом $-1$, но не ограничена сверху. Таким образом, функция не является ограниченной.

Ответ: Область определения $D(y) = [0, +\infty)$; множество значений $E(y) = [-1, +\infty)$; функция является возрастающей на всей области определения; функция не является ограниченной (ограничена снизу).

2) Рассмотрим функцию $y = (x+1)^{-\sqrt{2}}$.

Данную функцию можно представить в виде $y = \frac{1}{(x+1)^{\sqrt{2}}}$. Ее график получается смещением графика функции $y = x^{-\sqrt{2}}$ на 1 единицу влево. Показатель степени $a = -\sqrt{2} \approx -1.414$ является отрицательным иррациональным числом. График имеет вертикальную асимптоту $x = -1$ и горизонтальную асимптоту $y = 0$. Функция определена только при $x > -1$, и ее значения всегда положительны. График представляет собой гладкую убывающую кривую, проходящую через точку $(0, 1)$ и приближающуюся к осям координат.

Область определения: так как показатель степени $-\sqrt{2}$ иррациональный, основание $x+1$ должно быть неотрицательным. Поскольку показатель также отрицательный, основание не может быть равно нулю. Следовательно, $x+1 > 0$, что дает $x > -1$. Область определения $D(y) = (-1, +\infty)$.

Множество значений: если $x$ изменяется в интервале $(-1, +\infty)$, то $x+1$ изменяется в интервале $(0, +\infty)$. Тогда $(x+1)^{\sqrt{2}}$ также принимает значения в $(0, +\infty)$. Следовательно, $y = \frac{1}{(x+1)^{\sqrt{2}}}$ принимает значения в интервале $(0, +\infty)$. Множество значений $E(y) = (0, +\infty)$.

Монотонность: найдем производную: $y' = ((x+1)^{-\sqrt{2}})' = -\sqrt{2}(x+1)^{-\sqrt{2}-1} = \frac{-\sqrt{2}}{(x+1)^{\sqrt{2}+1}}$. В области определения $x > -1$ знаменатель $(x+1)^{\sqrt{2}+1}$ положителен. Числитель $-\sqrt{2}$ отрицателен. Значит, $y' < 0$ на всей области определения. Функция является убывающей.

Ограниченность: множество значений $E(y) = (0, +\infty)$. Функция ограничена снизу числом 0, но не ограничена сверху. Следовательно, функция не является ограниченной.

Ответ: Область определения $D(y) = (-1, +\infty)$; множество значений $E(y) = (0, +\infty)$; функция является убывающей на всей области определения; функция не является ограниченной (ограничена снизу).

3) Рассмотрим функцию $y = (x-2)^{-2}$.

Функцию можно записать как $y = \frac{1}{(x-2)^2}$. Ее график — это график функции $y = \frac{1}{x^2}$, смещенный на 2 единицы вправо по оси абсцисс. Функция имеет вертикальную асимптоту при $x=2$ и горизонтальную асимптоту $y=0$. График симметричен относительно прямой $x=2$ и расположен полностью выше оси абсцисс. Слева от асимптоты (при $x < 2$) график возрастает от 0 до $+\infty$. Справа от асимптоты (при $x > 2$) график убывает от $+\infty$ до 0.

Область определения: функция определена, если знаменатель не равен нулю, т.е. $(x-2)^2 \neq 0$, откуда $x \neq 2$. Область определения $D(y) = (-\infty, 2) \cup (2, +\infty)$.

Множество значений: выражение $(x-2)^2$ принимает все строго положительные значения, т.е. $(x-2)^2 \in (0, +\infty)$. Следовательно, обратная величина $y = \frac{1}{(x-2)^2}$ также принимает все строго положительные значения. Множество значений $E(y) = (0, +\infty)$.

Монотонность: найдем производную: $y' = ((x-2)^{-2})' = -2(x-2)^{-3} = \frac{-2}{(x-2)^3}$. Если $x > 2$, то $x-2 > 0$, $(x-2)^3 > 0$, и $y' < 0$. Функция убывает на интервале $(2, +\infty)$. Если $x < 2$, то $x-2 < 0$, $(x-2)^3 < 0$, и $y' > 0$. Функция возрастает на интервале $(-\infty, 2)$. Функция не является монотонной на всей области определения.

Ограниченность: множество значений $E(y) = (0, +\infty)$. Функция ограничена снизу числом 0, но не ограничена сверху. Следовательно, она не является ограниченной.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty, 2) \cup (2, +\infty)$; множество значений $E(y) = (0, +\infty)$; функция возрастает на промежутке $(-\infty, 2)$ и убывает на промежутке $(2, +\infty)$; функция не является ограниченной (ограничена снизу).