Номер 563, страница 184 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

563. По рисунку найти промежутки, на которых график данной функции лежит выше (ниже) графика функции $y = x$:

1) $y = x^{\frac{1}{\pi}}$;

2) $y = x^{\sin 45^\circ}$;

1) Чтобы найти промежутки, на которых график функции $y = x^{\frac{1}{\pi}}$ лежит выше или ниже графика функции $y=x$, нужно сравнить значения этих функций. Решение сводится к анализу неравенств $x^{\frac{1}{\pi}} > x$ и $x^{\frac{1}{\pi}} < x$ на области определения $x \ge 0$.

Взаимное расположение графиков степенной функции $y=x^a$ и прямой $y=x$ зависит от значения показателя степени $a$. В данном случае $a = \frac{1}{\pi}$.

Оценим значение $a$. Так как $\pi \approx 3.14159$, то $\pi > 1$, и, следовательно, $0 < \frac{1}{\pi} < 1$.

Для степенной функции $y=x^a$ с показателем $a$, удовлетворяющим условию $0 < a < 1$, верны следующие утверждения:
- При $x \in (0, 1)$, график функции $y=x^a$ лежит выше графика $y=x$.
- При $x \in (1, +\infty)$, график функции $y=x^a$ лежит ниже графика $y=x$.
- При $x=0$ и $x=1$ графики пересекаются, так как $0^a=0$ и $1^a=1$.

Поскольку для функции $y = x^{\frac{1}{\pi}}$ показатель $a=\frac{1}{\pi}$ находится в интервале $(0, 1)$, то её график лежит выше графика $y=x$ на промежутке $(0, 1)$ и ниже на промежутке $(1, +\infty)$.

Ответ: график функции $y=x^{\frac{1}{\pi}}$ лежит выше графика $y=x$ на промежутке $(0, 1)$ и ниже на промежутке $(1, +\infty)$.

2) Рассмотрим функцию $y = x^{\sin{45^\circ}}$. Проведем анализ аналогично предыдущему пункту.

Показатель степени в этой функции равен $a = \sin{45^\circ}$.

Вычислим значение $a$: $\sin{45^\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Поскольку $1 < \sqrt{2} < 2$, то $0.5 < \frac{\sqrt{2}}{2} < 1$. Таким образом, показатель степени $a$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$.

Так как показатель степени $a = \sin{45^\circ}$ находится в том же интервале $(0, 1)$, что и в первом задании, то взаимное расположение графиков будет таким же.
- График функции $y=x^{\sin{45^\circ}}$ лежит выше графика $y=x$ на промежутке $(0, 1)$.
- График функции $y=x^{\sin{45^\circ}}$ лежит ниже графика $y=x$ на промежутке $(1, +\infty)$.

Ответ: график функции $y=x^{\sin{45^\circ}}$ лежит выше графика $y=x$ на промежутке $(0, 1)$ и ниже на промежутке $(1, +\infty)$.