Номер 557, страница 183 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

557. Построить график функции, указать её область определения и множество значений; выяснить, является ли функция возрастающей (убывающей), является ли функция ограниченной, принимает ли она наибольшее (наименьшее) значение:

1) $y=-(x-2)^3-1;$

2) $y=(x+3)^4+2.$

1) $y = -(x - 2)^3 - 1$

Построение графика:
График данной функции получается из графика базовой функции $y = x^3$ (кубическая парабола) путем последовательных преобразований:
1. Сдвиг графика $y=x^3$ на 2 единицы вправо по оси абсцисс. Получаем $y=(x-2)^3$.
2. Симметричное отражение полученного графика относительно оси абсцисс. Получаем $y=-(x-2)^3$.
3. Сдвиг полученного графика на 1 единицу вниз по оси ординат. Получаем $y=-(x-2)^3 - 1$.
В результате этих преобразований точка перегиба из $(0,0)$ перемещается в точку $(2, -1)$.

Область определения и множество значений:
Функция является многочленом, поэтому ее область определения — все действительные числа.
Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Для кубической функции, подвергнутой сдвигам и отражению, множество значений также остается всеми действительными числами.
Множество значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Возрастание и убывание:
Базовая функция $y=x^3$ является возрастающей. После отражения относительно оси Ox (умножение на -1) функция становится убывающей на всей области определения. Сдвиги не влияют на характер монотонности. Таким образом, функция $y = -(x - 2)^3 - 1$ является убывающей на всей своей области определения.

Ограниченность:
Поскольку множество значений функции $E(y) = (-\infty; +\infty)$, функция не ограничена ни сверху, ни снизу.

Наибольшее и наименьшее значения:
Так как функция не ограничена ни сверху, ни снизу, она не принимает ни наибольшего, ни наименьшего значения.

Ответ: График — кубическая парабола с точкой перегиба в $(2,-1)$, полученная сдвигом $y=x^3$ на 2 вправо, отражением по оси Ox и сдвигом на 1 вниз; область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$; множество значений $E(y) = (-\infty; +\infty)$; функция является убывающей на всей области определения; функция не ограничена; наибольшего и наименьшего значений не принимает.

2) $y = (x + 3)^4 + 2$

Построение графика:
График данной функции получается из графика базовой функции $y = x^4$ (парабола четвертой степени) путем последовательных преобразований:
1. Сдвиг графика $y=x^4$ на 3 единицы влево по оси абсцисс. Получаем $y=(x+3)^4$.
2. Сдвиг полученного графика на 2 единицы вверх по оси ординат. Получаем $y=(x+3)^4 + 2$.
В результате этих преобразований вершина графика из $(0,0)$ перемещается в точку $(-3, 2)$. Ветви графика направлены вверх.

Область определения и множество значений:
Функция является многочленом, поэтому ее область определения — все действительные числа.
Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Поскольку $(x+3)^4 \ge 0$ для любого $x$, то наименьшее значение выражения $(x+3)^4$ равно 0 (при $x=-3$). Следовательно, наименьшее значение функции $y$ равно $0 + 2 = 2$.
Множество значений: $E(y) = [2; +\infty)$.

Возрастание и убывание:
Функция имеет точку минимума при $x=-3$. Следовательно, функция убывает на промежутке $(-\infty; -3]$ и возрастает на промежутке $[-3; +\infty)$. На всей области определения функция не является монотонной.

Ограниченность:
Поскольку $y \ge 2$ для всех $x$ из области определения, функция ограничена снизу числом 2. Сверху функция не ограничена.

Наибольшее и наименьшее значения:
Функция принимает свое наименьшее значение в вершине. $y_{наим} = 2$ при $x=-3$. Так как функция не ограничена сверху, она не имеет наибольшего значения.

Ответ: График — парабола четвертой степени с вершиной в точке $(-3, 2)$ и ветвями вверх; область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$; множество значений $E(y) = [2; +\infty)$; функция убывает на $(-\infty; -3]$ и возрастает на $[-3; +\infty)$; функция ограничена снизу; принимает наименьшее значение $y_{наим} = 2$, наибольшего значения не принимает.