Номер 554, страница 183 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

554. С помощью свойств степенной функции сравнить с единицей число:

1) $(0,7)^8$;

2) $(1,02)^4$;

3) $(1,03)^7$;

4) $(0,75)^5$;

5) $(1,3)^{-2}$;

6) $(0,8)^{-1}$.

Для решения задачи воспользуемся свойствами степенной функции $y=a^x$. Основное правило для сравнения с единицей зависит от основания степени $a$ и знака показателя $x$.

Свойство 1: Если основание степени больше единицы ($a > 1$):
- при положительном показателе ($x > 0$) результат будет больше единицы ($a^x > 1$);
- при отрицательном показателе ($x < 0$) результат будет меньше единицы ($a^x < 1$).

Свойство 2: Если основание степени находится в интервале от 0 до 1 ($0 < a < 1$):
- при положительном показателе ($x > 0$) результат будет меньше единицы ($a^x < 1$);
- при отрицательном показателе ($x < 0$) результат будет больше единицы ($a^x > 1$).

В любом случае, $a^0 = 1$ (при $a \neq 0$) и $1^x = 1$.

1) $(0,7)^8$

Основание степени $a = 0,7$. Так как основание находится в интервале $0 < 0,7 < 1$, а показатель степени $x = 8$ положителен ($8 > 0$), то по свойству 2 значение выражения будет меньше 1.

Ответ: $(0,7)^8 < 1$.

2) $(1,02)^4$

Основание степени $a = 1,02$. Так как основание больше 1 ($1,02 > 1$), а показатель степени $x = 4$ положителен ($4 > 0$), то по свойству 1 значение выражения будет больше 1.

Ответ: $(1,02)^4 > 1$.

3) $(1,03)^7$

Основание степени $a = 1,03$. Так как основание больше 1 ($1,03 > 1$), а показатель степени $x = 7$ положителен ($7 > 0$), то по свойству 1 значение выражения будет больше 1.

Ответ: $(1,03)^7 > 1$.

4) $(0,75)^5$

Основание степени $a = 0,75$. Так как основание находится в интервале $0 < 0,75 < 1$, а показатель степени $x = 5$ положителен ($5 > 0$), то по свойству 2 значение выражения будет меньше 1.

Ответ: $(0,75)^5 < 1$.

5) $(1,3)^{-2}$

Основание степени $a = 1,3$. Так как основание больше 1 ($1,3 > 1$), а показатель степени $x = -2$ отрицателен ($-2 < 0$), то по свойству 1 значение выражения будет меньше 1.
Можно также преобразовать выражение: $(1,3)^{-2} = \frac{1}{(1,3)^2}$. Поскольку $(1,3)^2 > 1$, то обратная величина $\frac{1}{(1,3)^2}$ будет меньше 1.

Ответ: $(1,3)^{-2} < 1$.

6) $(0,8)^{-1}$

Основание степени $a = 0,8$. Так как основание находится в интервале $0 < 0,8 < 1$, а показатель степени $x = -1$ отрицателен ($-1 < 0$), то по свойству 2 значение выражения будет больше 1.
Можно также преобразовать выражение: $(0,8)^{-1} = \frac{1}{0,8} = \frac{10}{8} = 1,25$. Так как $1,25 > 1$, то исходное число больше 1.

Ответ: $(0,8)^{-1} > 1$.