Номер 4, страница 172 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

4. Сравнить с единицей число: $(0,011)^{-2}$; $3,1^{0,5}$.

(0,011)^-2

Чтобы сравнить данное число с единицей, проанализируем его основание и показатель степени.

Способ 1: Анализ свойств степенной функции.
Рассмотрим степенную функцию $y = a^x$. В нашем случае основание $a = 0,011$ и показатель $x = -2$.

1. Основание степени $a = 0,011$. Это число удовлетворяет неравенству $0 < a < 1$.
2. Показатель степени $x = -2$. Это число является отрицательным ($x < 0$).

Для степенной функции с основанием, которое больше нуля, но меньше единицы ($0 < a < 1$), действует правило: при возведении в отрицательную степень результат всегда будет больше единицы. Следовательно, $(0,011)^{-2} > 1$.

Способ 2: Преобразование выражения.
Воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

$(0,011)^{-2} = \frac{1}{(0,011)^2}$

Теперь оценим знаменатель $(0,011)^2$. Так как $0 < 0,011 < 1$, то при возведении в квадрат это число останется положительным, но станет еще меньше: $0 < (0,011)^2 < 1$. Когда мы делим 1 на положительное число, которое меньше 1, результат всегда получается больше 1. Например, $\frac{1}{0,5} = 2$, что больше 1. Таким образом, $\frac{1}{(0,011)^2} > 1$.

Ответ: $(0,011)^{-2} > 1$.

3,1^0,5

Аналогично первому случаю, проанализируем основание и показатель степени.

Способ 1: Анализ свойств степенной функции.
Рассмотрим степенную функцию $y = a^x$. В нашем случае основание $a = 3,1$ и показатель $x = 0,5$.

1. Основание степени $a = 3,1$. Это число больше единицы ($a > 1$).
2. Показатель степени $x = 0,5$. Это число является положительным ($x > 0$).

Для степенной функции с основанием, которое больше единицы ($a > 1$), действует правило: при возведении в положительную степень результат всегда будет больше единицы. Следовательно, $3,1^{0,5} > 1$.

Способ 2: Преобразование выражения.
Представим показатель степени $0,5$ в виде обыкновенной дроби $\frac{1}{2}$. Тогда выражение примет вид:

$3,1^{0,5} = 3,1^{1/2} = \sqrt{3,1}$

Нам нужно сравнить $\sqrt{3,1}$ с 1. Поскольку оба числа положительные, мы можем сравнить их квадраты.

$(\sqrt{3,1})^2 = 3,1$
$1^2 = 1$

Так как $3,1 > 1$, то и корень из этого числа будет больше корня из единицы: $\sqrt{3,1} > \sqrt{1}$, а значит $\sqrt{3,1} > 1$.

Ответ: $3,1^{0,5} > 1$.