Номер 555, страница 183 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

555. Сравнить значения выражений:

1) $(0,35)^8$ и $(-5,4)^8$;

2) $(-\frac{11}{17})^5$ и $(-\frac{6}{13})^5$;

3) $(1-\sqrt{5})^7$ и $(\sqrt{3}-1)^7$;

4) $(\sqrt{3}+1)^{10}$ и $(\sqrt{2}+2)^{10}$.

1) Сравнить $(0,35)^8$ и $(-5,4)^8$.

Поскольку показатель степени 8 является четным числом, то любое ненулевое число в этой степени будет положительным. В частности, $(-5,4)^8 = |-5,4|^8 = (5,4)^8$. Теперь задача сводится к сравнению $(0,35)^8$ и $(5,4)^8$.

Рассмотрим степенную функцию $y = x^8$. Для положительных значений аргумента ($x > 0$) эта функция является возрастающей. Это означает, что для любых $a > b > 0$ будет выполняться неравенство $a^8 > b^8$.

Сравним основания степеней: $0,35$ и $5,4$. Очевидно, что $5,4 > 0,35$. Так как основания положительны и $5,4 > 0,35$, то $(5,4)^8 > (0,35)^8$. Заменив $(5,4)^8$ на исходное выражение $(-5,4)^8$, получаем итоговое неравенство.

Ответ: $(0,35)^8 < (-5,4)^8$.

2) Сравнить $(-\frac{11}{17})^5$ и $(-\frac{6}{13})^5$.

Показатель степени 5 является нечетным числом. Степенная функция $y = x^5$ является возрастающей на всей числовой оси. Это означает, что для любых $a > b$ будет выполняться неравенство $a^5 > b^5$. Таким образом, чтобы сравнить значения выражений, достаточно сравнить их основания: $-\frac{11}{17}$ и $-\frac{6}{13}$.

Сначала сравним модули этих чисел, то есть дроби $\frac{11}{17}$ и $\frac{6}{13}$. Приведем их к общему знаменателю: $17 \cdot 13 = 221$. $\frac{11}{17} = \frac{11 \cdot 13}{17 \cdot 13} = \frac{143}{221}$;
$\frac{6}{13} = \frac{6 \cdot 17}{13 \cdot 17} = \frac{102}{221}$.

Так как $143 > 102$, то $\frac{143}{221} > \frac{102}{221}$, следовательно $\frac{11}{17} > \frac{6}{13}$. Для отрицательных чисел знак неравенства меняется на противоположный: $-\frac{11}{17} < -\frac{6}{13}$.

Поскольку функция $y=x^5$ возрастающая и $-\frac{11}{17} < -\frac{6}{13}$, то и значения степеней будут находиться в том же соотношении.

Ответ: $(-\frac{11}{17})^5 < (-\frac{6}{13})^5$.

3) Сравнить $(1-\sqrt{5})^7$ и $(\sqrt{3}-1)^7$.

Показатель степени 7 является нечетным числом, а функция $y=x^7$ является возрастающей на всей числовой оси. Поэтому для сравнения значений выражений достаточно сравнить их основания: $1-\sqrt{5}$ и $\sqrt{3}-1$.

Оценим знак каждого основания. Известно, что $2 < \sqrt{5} < 3$ (так как $4 < 5 < 9$). Следовательно, $1-\sqrt{5}$ является отрицательным числом. Также известно, что $1 < \sqrt{3} < 2$ (так как $1 < 3 < 4$). Следовательно, $\sqrt{3}-1$ является положительным числом.

Любое отрицательное число меньше любого положительного числа, поэтому $1-\sqrt{5} < \sqrt{3}-1$. Так как функция $y=x^7$ возрастающая, из неравенства для оснований следует такое же неравенство для их седьмых степеней.

Ответ: $(1-\sqrt{5})^7 < (\sqrt{3}-1)^7$.

4) Сравнить $(\sqrt{3}+1)^{10}$ и $(\sqrt{2}+2)^{10}$.

Показатель степени 10 является четным числом. Основания $\sqrt{3}+1$ и $\sqrt{2}+2$ являются положительными числами. Функция $y = x^{10}$ является возрастающей для положительных значений $x$. Поэтому для сравнения значений выражений достаточно сравнить их основания: $\sqrt{3}+1$ и $\sqrt{2}+2$.

Сравним $\sqrt{3}+1$ и $\sqrt{2}+2$. Вычтем 1 из обеих частей предполагаемого неравенства. Задача сводится к сравнению $\sqrt{3}$ и $\sqrt{2}+1$. Так как обе части, $\sqrt{3}$ и $\sqrt{2}+1$, положительны, мы можем сравнить их квадраты, при этом знак неравенства не изменится.

$(\sqrt{3})^2 = 3$.
$(\sqrt{2}+1)^2 = (\sqrt{2})^2 + 2\cdot\sqrt{2}\cdot1 + 1^2 = 2 + 2\sqrt{2} + 1 = 3 + 2\sqrt{2}$.

Теперь сравним $3$ и $3 + 2\sqrt{2}$. Так как $2\sqrt{2} > 0$, очевидно, что $3 < 3 + 2\sqrt{2}$. Отсюда следует, что $(\sqrt{3})^2 < (\sqrt{2}+1)^2$, а значит $\sqrt{3} < \sqrt{2}+1$. Вернувшись к исходным основаниям (прибавив 1 к обеим частям), получаем $\sqrt{3}+1 < \sqrt{2}+2$.

Поскольку основания положительны и $\sqrt{3}+1 < \sqrt{2}+2$, а функция $y=x^{10}$ возрастающая для $x > 0$, то итоговое неравенство будет таким же.

Ответ: $(\sqrt{3}+1)^{10} < (\sqrt{2}+2)^{10}$.