Номер 552, страница 183 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

552. Выяснить, является ли функция ограниченной сверху (снизу):

1) $y = x^8$;

2) $y = -x^{16}$;

3) $y = x^{-2}$.

Чтобы выяснить, является ли функция ограниченной сверху или снизу, необходимо проанализировать ее множество значений.

Определение: Функция $f(x)$ называется ограниченной сверху на своей области определения, если существует такое число $M$, что для всех допустимых значений $x$ выполняется неравенство $f(x) \le M$.

Определение: Функция $f(x)$ называется ограниченной снизу на своей области определения, если существует такое число $m$, что для всех допустимых значений $x$ выполняется неравенство $f(x) \ge m$.

1) $y = x^8$

Это степенная функция с четным натуральным показателем. Область определения функции — все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Поскольку показатель степени 8 — четное число, для любого действительного значения $x$ результат возведения в степень будет неотрицательным: $x^8 \ge 0$.

Ограниченность снизу: Так как для любого $x$ выполняется неравенство $y = x^8 \ge 0$, функция ограничена снизу. В качестве нижней границы можно взять число 0. Наименьшее значение функции $y_{min} = 0$ достигается при $x=0$.

Ограниченность сверху: При неограниченном увеличении $x$ (например, $x \to +\infty$), значение $y = x^8$ также неограниченно возрастает ($y \to +\infty$). Это означает, что не существует такого числа $M$, которое было бы больше или равно всем значениям функции. Следовательно, функция не ограничена сверху.

Ответ: функция ограничена снизу, но не ограничена сверху.

2) $y = -x^{16}$

Это степенная функция с четным натуральным показателем, взятая со знаком минус. Область определения — все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Так как показатель 16 — четное число, выражение $x^{16}$ всегда неотрицательно: $x^{16} \ge 0$. Умножая на -1, получаем, что $y = -x^{16} \le 0$ для любого $x$.

Ограниченность сверху: Поскольку для любого $x$ выполняется неравенство $y = -x^{16} \le 0$, функция ограничена сверху. В качестве верхней границы можно взять число 0. Наибольшее значение функции $y_{max} = 0$ достигается при $x=0$.

Ограниченность снизу: При неограниченном увеличении $x$ по модулю (например, $x \to +\infty$ или $x \to -\infty$), значение $x^{16}$ стремится к $+\infty$, а $y = -x^{16}$ стремится к $-\infty$. Это означает, что не существует такого числа $m$, которое было бы меньше или равно всем значениям функции. Следовательно, функция не ограничена снизу.

Ответ: функция ограничена сверху, но не ограничена снизу.

3) $y = x^{-2}$

Данную функцию можно представить в виде $y = \frac{1}{x^2}$.

Область определения функции — все действительные числа, кроме тех, при которых знаменатель равен нулю. $x^2 = 0$ при $x=0$. Таким образом, $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Для любого $x$ из области определения знаменатель $x^2$ является строго положительным числом ($x^2 > 0$). Следовательно, и сама дробь $y = \frac{1}{x^2}$ будет всегда строго положительной.

Ограниченность снизу: Так как для любого $x \ne 0$ выполняется неравенство $y = \frac{1}{x^2} > 0$, функция ограничена снизу. В качестве нижней границы можно взять число 0.

Ограниченность сверху: Рассмотрим поведение функции при $x$, стремящемся к 0. В этом случае знаменатель $x^2$ также стремится к 0, оставаясь положительным, а значение дроби $y = \frac{1}{x^2}$ неограниченно возрастает ($y \to +\infty$). Следовательно, функция не ограничена сверху.

Ответ: функция ограничена снизу, но не ограничена сверху.