Номер 3, страница 172 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

3. Упростить выражение:

1) $(\frac{\sqrt[3]{a^2 b^2} - a^{\frac{4}{3}}}{ab^{\frac{1}{3}} - b\sqrt[3]{a}} + 1) \cdot (a^{\frac{1}{3}} - a^{-\frac{1}{3}})^{-1}$

2) $(a^{\frac{1+\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}})^{\sqrt{2}} : a^{\frac{\sqrt{2}-2}{1-\sqrt{2}}}$

1) Упростим данное выражение по действиям.
Исходное выражение: $ \left( \frac{\sqrt[3]{a^2b^2} - a^{\frac{4}{3}}}{ab^{\frac{1}{3}} - b\sqrt[3]{a}} + 1 \right) \cdot \left( a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}} \right)^{-1} $
Сначала преобразуем выражение в первых скобках. Для этого упростим дробь. Перепишем все члены с использованием дробных показателей степени:
$ \frac{\sqrt[3]{a^2b^2} - a^{\frac{4}{3}}}{ab^{\frac{1}{3}} - b\sqrt[3]{a}} = \frac{a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{4}{3}}}{ab^{\frac{1}{3}} - ba^{\frac{1}{3}}} $
Вынесем общие множители в числителе и знаменателе:
Числитель: $ a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{4}{3}} = a^{\frac{2}{3}}(b^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{2}{3}}) $
Знаменатель: $ ab^{\frac{1}{3}} - ba^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}}) $
Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь и сократим:
$ \frac{a^{\frac{2}{3}}(b^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{2}{3}})}{a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}})} = \frac{a^{\frac{2}{3}}(- (a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}}))}{a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}})} = -\frac{a^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}} = -a^{\frac{2}{3}-\frac{1}{3}}b^{-\frac{1}{3}} = -a^{\frac{1}{3}}b^{-\frac{1}{3}} $
Теперь подставим полученный результат в первые скобки:
$ -a^{\frac{1}{3}}b^{-\frac{1}{3}} + 1 = 1 - \frac{a^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}}} = \frac{b^{\frac{1}{3}} - a^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}}} $
Упростим вторую часть исходного выражения:
$ \left( a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}} \right)^{-1} = \frac{1}{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}} $
Перемножим обе упрощенные части:
$ \frac{b^{\frac{1}{3}} - a^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1}{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}} = \frac{-(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})}{b^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1}{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}} = -\frac{1}{b^{\frac{1}{3}}} = -b^{-\frac{1}{3}} $
Ответ: $ -b^{-\frac{1}{3}} $

2) Упростим выражение, используя свойства степеней.
Исходное выражение: $ \left( a^{\frac{1+\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}} \right)^{\sqrt{2}} : a^{\frac{\sqrt{2}-2}{1-\sqrt{2}}} $
Используя свойства степеней $(x^m)^n = x^{mn}$ и $x^p : x^q = x^{p-q}$, мы можем объединить показатели:
$ a^{\left( \frac{1+\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}-2}{1-\sqrt{2}} \right)} $
Упростим выражение в показателе степени. Так как знаменатели одинаковы, объединим числители:
$ \frac{(1+\sqrt{2})\sqrt{2} - (\sqrt{2}-2)}{1-\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 - \sqrt{2} + 2}{1-\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} + 2 - \sqrt{2} + 2}{1-\sqrt{2}} = \frac{4}{1-\sqrt{2}} $
Чтобы упростить полученную дробь, избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(1+\sqrt{2})$:
$ \frac{4}{1-\sqrt{2}} \cdot \frac{1+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}} = \frac{4(1+\sqrt{2})}{1^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{4(1+\sqrt{2})}{1-2} = \frac{4(1+\sqrt{2})}{-1} = -4(1+\sqrt{2}) = -4-4\sqrt{2} $
Таким образом, исходное выражение равно:
$ a^{-4-4\sqrt{2}} $
Ответ: $ a^{-4-4\sqrt{2}} $