Страница 172 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Вычислить:

1) $\frac{81^{-\frac{3}{4}} + 27^{-\frac{4}{3}}}{3 \cdot 9^{-1.5} - 27^{-1}};

2) $\left(5^{\frac{1-\sqrt{3}}{3}}\right)^{1+\sqrt{3}} \cdot \sqrt[3]{25}$

1) Для решения этого примера необходимо преобразовать все числа в степени с основанием 3.

Сначала преобразуем числитель дроби: $ 81^{-\frac{3}{4}} + 27^{-\frac{4}{3}} $.
Так как $ 81 = 3^4 $ и $ 27 = 3^3 $, мы можем переписать выражения:
$ 81^{-\frac{3}{4}} = (3^4)^{-\frac{3}{4}} = 3^{4 \cdot (-\frac{3}{4})} = 3^{-3} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27} $.
$ 27^{-\frac{4}{3}} = (3^3)^{-\frac{4}{3}} = 3^{3 \cdot (-\frac{4}{3})} = 3^{-4} = \frac{1}{3^4} = \frac{1}{81} $.
Сумма в числителе равна: $ \frac{1}{27} + \frac{1}{81} = \frac{3}{81} + \frac{1}{81} = \frac{4}{81} $.

Теперь преобразуем знаменатель: $ 3 \cdot 9^{-1.5} - 27^{-1} $.
Так как $ 9 = 3^2 $ и $ 1.5 = \frac{3}{2} $, получаем:
$ 3 \cdot 9^{-1.5} = 3^1 \cdot (3^2)^{-\frac{3}{2}} = 3^1 \cdot 3^{2 \cdot (-\frac{3}{2})} = 3^1 \cdot 3^{-3} = 3^{1-3} = 3^{-2} = \frac{1}{9} $.
$ 27^{-1} = \frac{1}{27} $.
Разность в знаменателе равна: $ \frac{1}{9} - \frac{1}{27} = \frac{3}{27} - \frac{1}{27} = \frac{2}{27} $.

Наконец, разделим результат преобразования числителя на результат преобразования знаменателя:
$ \frac{\frac{4}{81}}{\frac{2}{27}} = \frac{4}{81} \cdot \frac{27}{2} = \frac{4 \cdot 27}{81 \cdot 2} = \frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 1} = \frac{2}{3} $.

Ответ: $ \frac{2}{3} $

2) Рассмотрим выражение $ (5^{\frac{1-\sqrt{3}}{3}})^{1+\sqrt{3}} \cdot \sqrt[3]{25} $.

Сначала упростим первую часть выражения, используя свойство степеней $ (a^m)^n = a^{m \cdot n} $:
$ (5^{\frac{1-\sqrt{3}}{3}})^{1+\sqrt{3}} = 5^{\frac{1-\sqrt{3}}{3} \cdot (1+\sqrt{3})} $.
Вычислим показатель степени, используя формулу разности квадратов $ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 $:
$ \frac{1-\sqrt{3}}{3} \cdot (1+\sqrt{3}) = \frac{(1-\sqrt{3})(1+\sqrt{3})}{3} = \frac{1^2 - (\sqrt{3})^2}{3} = \frac{1-3}{3} = -\frac{2}{3} $.
Таким образом, первая часть выражения равна $ 5^{-\frac{2}{3}} $.

Теперь преобразуем вторую часть выражения: $ \sqrt[3]{25} $.
Так как $ 25 = 5^2 $, то $ \sqrt[3]{25} = \sqrt[3]{5^2} = 5^{\frac{2}{3}} $.

Перемножим полученные результаты, используя свойство степеней $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $:
$ 5^{-\frac{2}{3}} \cdot 5^{\frac{2}{3}} = 5^{-\frac{2}{3} + \frac{2}{3}} = 5^0 $.
Любое ненулевое число в нулевой степени равно 1, следовательно $ 5^0 = 1 $.

Ответ: $ 1 $

2.Записать в виде обыкновенной дроби бесконечную периодическую десятичную дробь: $0,2(18)$; $3,15(12)$.

0,2(18)

Для того чтобы преобразовать смешанную периодическую десятичную дробь в обыкновенную, выполним следующие шаги.
1. Обозначим исходное число переменной $x$:
$x = 0,2(18) = 0,2181818...$

2. Умножим уравнение на $10$ (так как до периода одна цифра), чтобы непериодическая часть оказалась слева от десятичной запятой:
$10x = 2,181818...$

3. Умножим исходное уравнение на $1000$ (так как всего до конца первого периода три цифры: '2', '1', '8'), чтобы сместить один полный период влево от запятой:
$1000x = 218,181818...$

4. Теперь у нас есть два уравнения с одинаковой дробной частью. Вычтем из второго уравнения первое, чтобы избавиться от бесконечной периодической части:
$1000x - 10x = 218,181818... - 2,181818...$
$990x = 216$

5. Решим уравнение относительно $x$:
$x = \frac{216}{990}$

6. Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для 216 и 990 равен 18.
$x = \frac{216 \div 18}{990 \div 18} = \frac{12}{55}$

Ответ: $\frac{12}{55}$

3,15(12)

Применим тот же метод для второго числа.
1. Обозначим исходное число переменной $x$:
$x = 3,15(12) = 3,15121212...$

2. Умножим уравнение на $100$ (так как до периода две цифры: '1', '5'), чтобы непериодическая часть оказалась слева от десятичной запятой:
$100x = 315,121212...$

3. Умножим исходное уравнение на $10000$ (так как всего до конца первого периода четыре цифры: '1', '5', '1', '2'), чтобы сместить один полный период влево от запятой:
$10000x = 31512,121212...$

4. Вычтем из второго полученного уравнения первое, чтобы исключить периодическую часть:
$10000x - 100x = 31512,121212... - 315,121212...$
$9900x = 31197$

5. Найдем $x$:
$x = \frac{31197}{9900}$

6. Сократим дробь. Проверим делимость на общие множители. Сумма цифр числителя $3+1+1+9+7=21$, что делится на 3. Сумма цифр знаменателя $9+9+0+0=18$, что делится на 3 и 9. Разделим числитель и знаменатель на 3:
$x = \frac{31197 \div 3}{9900 \div 3} = \frac{10399}{3300}$
Дальнейшее сокращение невозможно, так как числитель 10399 не делится на простые множители знаменателя (2, 3, 5, 11). Дробь является несократимой.

Ответ: $\frac{10399}{3300}$

3. Упростить выражение:

1) $(\frac{\sqrt[3]{a^2 b^2} - a^{\frac{4}{3}}}{ab^{\frac{1}{3}} - b\sqrt[3]{a}} + 1) \cdot (a^{\frac{1}{3}} - a^{-\frac{1}{3}})^{-1}$

2) $(a^{\frac{1+\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}})^{\sqrt{2}} : a^{\frac{\sqrt{2}-2}{1-\sqrt{2}}}$

1) Упростим данное выражение по действиям.
Исходное выражение: $ \left( \frac{\sqrt[3]{a^2b^2} - a^{\frac{4}{3}}}{ab^{\frac{1}{3}} - b\sqrt[3]{a}} + 1 \right) \cdot \left( a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}} \right)^{-1} $
Сначала преобразуем выражение в первых скобках. Для этого упростим дробь. Перепишем все члены с использованием дробных показателей степени:
$ \frac{\sqrt[3]{a^2b^2} - a^{\frac{4}{3}}}{ab^{\frac{1}{3}} - b\sqrt[3]{a}} = \frac{a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{4}{3}}}{ab^{\frac{1}{3}} - ba^{\frac{1}{3}}} $
Вынесем общие множители в числителе и знаменателе:
Числитель: $ a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{4}{3}} = a^{\frac{2}{3}}(b^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{2}{3}}) $
Знаменатель: $ ab^{\frac{1}{3}} - ba^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}}) $
Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь и сократим:
$ \frac{a^{\frac{2}{3}}(b^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{2}{3}})}{a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}})} = \frac{a^{\frac{2}{3}}(- (a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}}))}{a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}})} = -\frac{a^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}} = -a^{\frac{2}{3}-\frac{1}{3}}b^{-\frac{1}{3}} = -a^{\frac{1}{3}}b^{-\frac{1}{3}} $
Теперь подставим полученный результат в первые скобки:
$ -a^{\frac{1}{3}}b^{-\frac{1}{3}} + 1 = 1 - \frac{a^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}}} = \frac{b^{\frac{1}{3}} - a^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}}} $
Упростим вторую часть исходного выражения:
$ \left( a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}} \right)^{-1} = \frac{1}{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}} $
Перемножим обе упрощенные части:
$ \frac{b^{\frac{1}{3}} - a^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1}{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}} = \frac{-(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})}{b^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1}{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}} = -\frac{1}{b^{\frac{1}{3}}} = -b^{-\frac{1}{3}} $
Ответ: $ -b^{-\frac{1}{3}} $

2) Упростим выражение, используя свойства степеней.
Исходное выражение: $ \left( a^{\frac{1+\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}} \right)^{\sqrt{2}} : a^{\frac{\sqrt{2}-2}{1-\sqrt{2}}} $
Используя свойства степеней $(x^m)^n = x^{mn}$ и $x^p : x^q = x^{p-q}$, мы можем объединить показатели:
$ a^{\left( \frac{1+\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}-2}{1-\sqrt{2}} \right)} $
Упростим выражение в показателе степени. Так как знаменатели одинаковы, объединим числители:
$ \frac{(1+\sqrt{2})\sqrt{2} - (\sqrt{2}-2)}{1-\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 - \sqrt{2} + 2}{1-\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} + 2 - \sqrt{2} + 2}{1-\sqrt{2}} = \frac{4}{1-\sqrt{2}} $
Чтобы упростить полученную дробь, избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(1+\sqrt{2})$:
$ \frac{4}{1-\sqrt{2}} \cdot \frac{1+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}} = \frac{4(1+\sqrt{2})}{1^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{4(1+\sqrt{2})}{1-2} = \frac{4(1+\sqrt{2})}{-1} = -4(1+\sqrt{2}) = -4-4\sqrt{2} $
Таким образом, исходное выражение равно:
$ a^{-4-4\sqrt{2}} $
Ответ: $ a^{-4-4\sqrt{2}} $

4. Сравнить с единицей число: $(0,011)^{-2}$; $3,1^{0,5}$.

(0,011)^-2

Чтобы сравнить данное число с единицей, проанализируем его основание и показатель степени.

Способ 1: Анализ свойств степенной функции.
Рассмотрим степенную функцию $y = a^x$. В нашем случае основание $a = 0,011$ и показатель $x = -2$.

1. Основание степени $a = 0,011$. Это число удовлетворяет неравенству $0 < a < 1$.
2. Показатель степени $x = -2$. Это число является отрицательным ($x < 0$).

Для степенной функции с основанием, которое больше нуля, но меньше единицы ($0 < a < 1$), действует правило: при возведении в отрицательную степень результат всегда будет больше единицы. Следовательно, $(0,011)^{-2} > 1$.

Способ 2: Преобразование выражения.
Воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

$(0,011)^{-2} = \frac{1}{(0,011)^2}$

Теперь оценим знаменатель $(0,011)^2$. Так как $0 < 0,011 < 1$, то при возведении в квадрат это число останется положительным, но станет еще меньше: $0 < (0,011)^2 < 1$. Когда мы делим 1 на положительное число, которое меньше 1, результат всегда получается больше 1. Например, $\frac{1}{0,5} = 2$, что больше 1. Таким образом, $\frac{1}{(0,011)^2} > 1$.

Ответ: $(0,011)^{-2} > 1$.

3,1^0,5

Аналогично первому случаю, проанализируем основание и показатель степени.

Способ 1: Анализ свойств степенной функции.
Рассмотрим степенную функцию $y = a^x$. В нашем случае основание $a = 3,1$ и показатель $x = 0,5$.

1. Основание степени $a = 3,1$. Это число больше единицы ($a > 1$).
2. Показатель степени $x = 0,5$. Это число является положительным ($x > 0$).

Для степенной функции с основанием, которое больше единицы ($a > 1$), действует правило: при возведении в положительную степень результат всегда будет больше единицы. Следовательно, $3,1^{0,5} > 1$.

Способ 2: Преобразование выражения.
Представим показатель степени $0,5$ в виде обыкновенной дроби $\frac{1}{2}$. Тогда выражение примет вид:

$3,1^{0,5} = 3,1^{1/2} = \sqrt{3,1}$

Нам нужно сравнить $\sqrt{3,1}$ с 1. Поскольку оба числа положительные, мы можем сравнить их квадраты.

$(\sqrt{3,1})^2 = 3,1$
$1^2 = 1$

Так как $3,1 > 1$, то и корень из этого числа будет больше корня из единицы: $\sqrt{3,1} > \sqrt{1}$, а значит $\sqrt{3,1} > 1$.

Ответ: $3,1^{0,5} > 1$.

5. Сумма членов некоторой бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна сумме квадратов её членов и равна S. Может ли в этом случае S равняться 1?

Пусть первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии равен $b_1$, а ее знаменатель равен $q$. По определению бесконечно убывающей геометрической прогрессии, должно выполняться условие $|q| < 1$.

Сумма членов такой прогрессии, обозначенная как $S$, вычисляется по формуле:$$S = \frac{b_1}{1-q}$$

Рассмотрим новую последовательность, состоящую из квадратов членов исходной прогрессии: $b_1^2, (b_1q)^2, (b_1q^2)^2, \dots$ или $b_1^2, b_1^2q^2, b_1^2q^4, \dots$. Это также геометрическая прогрессия, у которой первый член равен $b_1^2$, а знаменатель равен $q^2$. Поскольку $|q|<1$, то $0 \le q^2 < 1$, следовательно, эта новая прогрессия также является бесконечно убывающей.

Сумма квадратов членов исходной прогрессии, которую мы обозначим $S_{sq}$, равна:$$S_{sq} = \frac{b_1^2}{1-q^2}$$

По условию задачи, сумма членов прогрессии равна сумме квадратов её членов, и обе эти суммы равны $S$:$$S = S_{sq}$$$$\frac{b_1}{1-q} = \frac{b_1^2}{1-q^2}$$

Если $b_1 = 0$, то все члены прогрессии равны нулю, и $S=0$. Вопрос касается случая $S=1$, поэтому $b_1 \neq 0$. Мы можем разделить обе части уравнения на $b_1$:$$\frac{1}{1-q} = \frac{b_1}{1-q^2}$$Разложим знаменатель в правой части по формуле разности квадратов: $1-q^2 = (1-q)(1+q)$.$$\frac{1}{1-q} = \frac{b_1}{(1-q)(1+q)}$$Так как $|q|<1$, то $1-q \neq 0$, и мы можем умножить обе части на $(1-q)$:$$1 = \frac{b_1}{1+q}$$Отсюда выразим $b_1$:$$b_1 = 1+q$$

Теперь подставим это выражение для $b_1$ в формулу для суммы $S$:$$S = \frac{b_1}{1-q} = \frac{1+q}{1-q}$$Мы получили зависимость суммы $S$ от знаменателя $q$. Чтобы найти возможные значения $S$, нужно определить, какой диапазон значений может принимать выражение $\frac{1+q}{1-q}$ при условии $|q|<1$, то есть при $-1 < q < 1$.

Решим уравнение $S = \frac{1+q}{1-q}$ относительно $q$:$$S(1-q) = 1+q$$$$S - Sq = 1+q$$$$S - 1 = q + Sq$$$$S - 1 = q(1+S)$$$$q = \frac{S-1}{S+1}$$

Теперь применим ограничение $|q|<1$:$$\left|\frac{S-1}{S+1}\right| < 1$$Это неравенство эквивалентно системе двух неравенств:

1. $\frac{S-1}{S+1} < 1 \implies \frac{S-1}{S+1} - 1 < 0 \implies \frac{S-1-(S+1)}{S+1} < 0 \implies \frac{-2}{S+1} < 0$. Это верно, когда знаменатель положителен: $S+1 > 0 \implies S > -1$.
2. $\frac{S-1}{S+1} > -1 \implies \frac{S-1}{S+1} + 1 > 0 \implies \frac{S-1+(S+1)}{S+1} > 0 \implies \frac{2S}{S+1} > 0$. Это неравенство выполняется, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Либо $S>0$ и $S+1>0$ (что дает $S>0$), либо $S<0$ и $S+1<0$ (что дает $S<-1$).

Объединяя оба условия ($S>-1$ и ($S>0$ или $S<-1$)), получаем, что $S$ должно быть строго больше нуля: $S>0$.

Вопрос задачи: может ли в этом случае $S$ равняться 1?Поскольку значение $S=1$ удовлетворяет условию $S>0$, то такое возможно.Найдем параметры прогрессии для случая $S=1$.Если $S=1$, то знаменатель прогрессии:$$q = \frac{1-1}{1+1} = \frac{0}{2} = 0$$Условие $|q|<1$ выполняется ($|0|<1$).Первый член прогрессии:$$b_1 = 1+q = 1+0 = 1$$Таким образом, существует прогрессия ($b_1=1, q=0$), которая удовлетворяет условиям задачи. Эта прогрессия имеет вид: $1, 0, 0, 0, \dots$.Ее сумма $S = \frac{1}{1-0} = 1$.Сумма квадратов ее членов ($1^2, 0^2, 0^2, \dots$) также равна $1$.Условия задачи выполнены.

Ответ: Да, может.