Страница 166 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

506. Найти значение выражения

$\frac{(m+x)^{\frac{1}{2}}+(m-x)^{\frac{1}{2}}}{(m+x)^{\frac{1}{2}}-(m-x)^{\frac{1}{2}}}$, если $x = \frac{2mn}{n^2+1}$ и $m > 0, 0 < n < 1$.

Обозначим данное выражение как $E$. Исходное выражение можно переписать с использованием знаков квадратного корня:

Для начала упростим подкоренные выражения $m+x$ и $m-x$, подставив в них $x = \frac{2mn}{n^2+1}$.

Найдем $m+x$:

Сгруппируем члены в числителе, чтобы выделить полный квадрат:

Теперь найдем $m-x$:

Аналогично сгруппируем члены в числителе:

Теперь извлечем квадратные корни из полученных выражений. Учитываем, что по условию $m > 0$ и $0 < n < 1$.

Для первого выражения:

Поскольку $n>0$, то $n+1>0$, и, следовательно, $\sqrt{(n+1)^2} = |n+1| = n+1$.

Для второго выражения:

Поскольку $0 < n < 1$, то $n-1<0$, и, следовательно, $\sqrt{(n-1)^2} = |n-1| = -(n-1) = 1-n$.

Теперь подставим упрощенные выражения для $\sqrt{m+x}$ и $\sqrt{m-x}$ в исходную дробь $E$:

Вынесем общий множитель $\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{n^2+1}}$ за скобки в числителе и знаменателе:

Сократим общий множитель и упростим оставшееся выражение:

Ответ: $\frac{1}{n}$

507. Вкладчик вложил в банк 5000 р. под 2% годовых. Сколько денег получит вкладчик через 3 года?

Для решения этой задачи используется формула сложных процентов, поскольку проценты начисляются на сумму вклада с учетом уже начисленных ранее процентов (капитализация). Формула выглядит так:
$S = P \cdot (1 + \frac{r}{100})^n$
где:
$S$ — итоговая сумма, которую получит вкладчик,
$P$ — первоначальная сумма вклада,
$r$ — годовая процентная ставка,
$n$ — количество лет.

В условиях задачи даны следующие значения:
$P = 5000$ р.
$r = 2$%
$n = 3$ года

Подставим эти значения в формулу. Можно провести расчет по годам для наглядности:

1. Расчет суммы в конце первого года:
Сумма на счете увеличится на 2%.
$5000 + 5000 \cdot \frac{2}{100} = 5000 + 100 = 5100$ рублей.

2. Расчет суммы в конце второго года:
Теперь 2% начисляются на новую сумму в 5100 рублей.
$5100 + 5100 \cdot \frac{2}{100} = 5100 + 102 = 5202$ рубля.

3. Расчет суммы в конце третьего года:
Проценты начисляются на сумму 5202 рубля.
$5202 + 5202 \cdot \frac{2}{100} = 5202 + 104,04 = 5306,04$ рублей.

Также можно выполнить расчет, сразу подставив все данные в исходную формулу сложных процентов:
$S = 5000 \cdot (1 + \frac{2}{100})^3 = 5000 \cdot (1,02)^3 = 5000 \cdot 1,061208 = 5306,04$ рублей.

Ответ: через 3 года вкладчик получит 5306,04 р.

508. Банк выплачивает ежегодно 3% от суммы вклада. Сколько денег получит вкладчик через 2 года 7 месяцев, если первоначальная сумма вклада составляла 2000 р.?

Для решения этой задачи необходимо рассчитать сумму на вкладе через 2 полных года с учетом ежегодного начисления процентов (сложные проценты), а затем учесть, что за оставшиеся 7 месяцев проценты не начисляются, так как по условию выплата происходит "ежегодно".

Исходные данные:
Первоначальная сумма вклада ($P$): 2000 р.
Годовая процентная ставка ($r$): 3% или 0.03.
Срок: 2 года 7 месяцев.

Проценты начисляются в конце каждого года на текущую сумму вклада.

1. Расчет суммы вклада в конце первого года.
К начальной сумме прибавляется 3% от нее.
Сумма процентов за первый год: $2000 \cdot 0.03 = 60$ р.
Сумма на вкладе через год: $S_1 = 2000 + 60 = 2060$ р.

2. Расчет суммы вклада в конце второго года.
Теперь проценты начисляются на новую сумму, т.е. на 2060 р.
Сумма процентов за второй год: $2060 \cdot 0.03 = 61.8$ р.
Сумма на вкладе через два года: $S_2 = 2060 + 61.8 = 2121.8$ р.

Расчет можно также выполнить по формуле сложных процентов $S = P \cdot (1 + r)^n$, где $n$ — количество полных лет:
$S_2 = 2000 \cdot (1 + 0.03)^2 = 2000 \cdot (1.03)^2 = 2000 \cdot 1.0609 = 2121.8$ р.

Так как проценты начисляются только за полные годы, то за оставшиеся 7 месяцев проценты начислены не будут. Таким образом, через 2 года и 7 месяцев вкладчик получит ту же сумму, что и после двух лет.

Ответ: вкладчик получит 2121.8 рубля (2121 рубль 80 копеек).

509. Вычислить:

1) $ \left( 0,645 : 0,3 - 1\frac{107}{180} \right) \cdot \left( 4 : 6,25 - 1 : 5 + \frac{1}{7} \cdot 1,96 \right); $

2) $ \left( \frac{1}{2} - 0,375 \right) : 0,125 + \left( \frac{5}{6} - \frac{7}{12} \right) : (0,358 - 0,108). $

1) $(0,645:0,3-1\frac{107}{180})\cdot(4:6,25-1:5+\frac{1}{7}\cdot 1,96)$

Решим выражение по действиям.

1. Сначала выполним действия в первой скобке: $0,645:0,3-1\frac{107}{180}$

а) Выполним деление: $0,645 : 0,3 = 6,45 : 3 = 2,15$

б) Теперь вычитание. Для этого преобразуем десятичную дробь $2,15$ в смешанную дробь: $2,15 = 2\frac{15}{100} = 2\frac{3}{20}$.

в) $2\frac{3}{20} - 1\frac{107}{180}$. Приведем дроби к общему знаменателю 180: $2\frac{3}{20} = 2\frac{3 \cdot 9}{20 \cdot 9} = 2\frac{27}{180}$.

$2\frac{27}{180} - 1\frac{107}{180} = \frac{2 \cdot 180 + 27}{180} - \frac{1 \cdot 180 + 107}{180} = \frac{387}{180} - \frac{287}{180} = \frac{100}{180} = \frac{10}{18} = \frac{5}{9}$.

2. Теперь выполним действия во второй скобке: $4:6,25-1:5+\frac{1}{7}\cdot 1,96$.

а) $4 : 6,25 = 4 : \frac{625}{100} = 4 : \frac{25}{4} = 4 \cdot \frac{4}{25} = \frac{16}{25} = 0,64$.

б) $1 : 5 = 0,2$.

в) $\frac{1}{7} \cdot 1,96 = \frac{1}{7} \cdot \frac{196}{100} = \frac{196}{700}$. Так как $196 = 7 \cdot 28$, то $\frac{7 \cdot 28}{7 \cdot 100} = \frac{28}{100} = 0,28$.

г) Подставим полученные значения в выражение: $0,64 - 0,2 + 0,28 = 0,44 + 0,28 = 0,72$.

3. Наконец, перемножим результаты из обеих скобок.

$\frac{5}{9} \cdot 0,72$. Преобразуем $0,72$ в обыкновенную дробь: $0,72 = \frac{72}{100} = \frac{18}{25}$.

$\frac{5}{9} \cdot \frac{18}{25} = \frac{5 \cdot 18}{9 \cdot 25} = \frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 5} = \frac{2}{5} = 0,4$.

Ответ: 0,4

2) $(\frac{1}{2}-0,375):0,125+(\frac{5}{6}-\frac{7}{12}):(0,358-0,108)$

Решим выражение по действиям, разделив его на две части.

1. Вычислим значение первого слагаемого: $(\frac{1}{2}-0,375):0,125$.

а) Выполним действие в скобках. Преобразуем $\frac{1}{2}$ в десятичную дробь: $\frac{1}{2} = 0,5$.

$0,5 - 0,375 = 0,125$.

б) Выполним деление: $0,125 : 0,125 = 1$.

2. Вычислим значение второго слагаемого: $(\frac{5}{6}-\frac{7}{12}):(0,358-0,108)$.

а) Выполним вычитание в первой скобке. Приведем дроби к общему знаменателю 12: $\frac{5}{6} = \frac{10}{12}$.

$\frac{10}{12} - \frac{7}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$.

б) Выполним вычитание во второй скобке: $0,358 - 0,108 = 0,25$.

в) Выполним деление. Преобразуем $\frac{1}{4}$ в десятичную дробь: $\frac{1}{4} = 0,25$.

$0,25 : 0,25 = 1$.

3. Сложим результаты двух частей: $1 + 1 = 2$.

Ответ: 2

510. Представить в виде обыкновенной дроби:

1) $2,5(1)$

2) $1,3(2)$

3) $0,(248)$

4) $0,(35)$

1)

Для того чтобы представить смешанную периодическую дробь $2,5(1)$ в виде обыкновенной дроби, обозначим это число переменной $x$.

$x = 2,5111...$

Сначала умножим обе части равенства на 10, чтобы сместить непериодическую часть (цифру 5) влево от десятичной запятой.

$10x = 25,111...$

Далее, умножим обе части исходного равенства на 100, чтобы сместить влево непериодическую часть и один период.

$100x = 251,111...$

Теперь вычтем из второго полученного уравнения первое, чтобы избавиться от периодической части:

$100x - 10x = 251,111... - 25,111...$

$90x = 226$

Найдем $x$:

$x = \frac{226}{90}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 2:

$x = \frac{113}{45}$

Ответ: $\frac{113}{45}$.

2)

Представим смешанную периодическую дробь $1,3(2)$ в виде обыкновенной дроби. Обозначим это число через $x$.

$x = 1,3222...$

Умножим обе части равенства на 10:

$10x = 13,222...$

Умножим обе части исходного равенства на 100:

$100x = 132,222...$

Вычтем из второго полученного равенства первое:

$100x - 10x = 132,222... - 13,222...$

$90x = 119$

Найдем $x$:

$x = \frac{119}{90}$

Эта дробь является несократимой, так как числитель $119 = 7 \cdot 17$ и знаменатель $90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$ не имеют общих простых делителей.

Ответ: $\frac{119}{90}$.

3)

Представим чистую периодическую дробь $0,(248)$ в виде обыкновенной дроби. Обозначим это число через $x$.

$x = 0,248248...$

Поскольку в периоде три цифры, умножим обе части равенства на $10^3 = 1000$:

$1000x = 248,248248...$

Вычтем из полученного равенства исходное:

$1000x - x = 248,248248... - 0,248248...$

$999x = 248$

Найдем $x$:

$x = \frac{248}{999}$

Эта дробь является несократимой, так как числитель $248 = 2^3 \cdot 31$ и знаменатель $999 = 3^3 \cdot 37$ не имеют общих простых делителей.

Ответ: $\frac{248}{999}$.

4)

Представим чистую периодическую дробь $0,(35)$ в виде обыкновенной дроби. Обозначим это число через $x$.

$x = 0,3535...$

Поскольку в периоде две цифры, умножим обе части равенства на $10^2 = 100$:

$100x = 35,3535...$

Вычтем из полученного равенства исходное:

$100x - x = 35,3535... - 0,3535...$

$99x = 35$

Найдем $x$:

$x = \frac{35}{99}$

Эта дробь является несократимой, так как числитель $35 = 5 \cdot 7$ и знаменатель $99 = 3^2 \cdot 11$ не имеют общих простых делителей.

Ответ: $\frac{35}{99}$.

Вычислить (511–514).

511. 1) $68^0$, $10^{-2}$, $(\frac{2}{5})^{-1}$, $(0,5)^{-3}$, $(-1,3)^{-2}$, $(2\frac{1}{4})^{-2}$;

2) $\sqrt[3]{27}$, $\sqrt[4]{81}$, $\sqrt[5]{32}$, $\sqrt[6]{8^2}$, $\sqrt[8]{16^2}$, $\sqrt[3]{27^2}$;

3) $8^{\frac{1}{3}}$, $27^{\frac{2}{3}}$, $10000^{\frac{1}{4}}$, $32^{\frac{2}{5}}$, $32^{-\frac{3}{5}}$, $(\frac{27}{64})^{\frac{2}{3}}$.

1)

$68^0 = 1$ (любое число в нулевой степени равно 1).
$10^{-2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100} = 0,01$
$(\frac{2}{5})^{-1} = \frac{5}{2} = 2,5$
$(0,5)^{-3} = (\frac{1}{2})^{-3} = 2^3 = 8$
$(-1,3)^{-2} = \frac{1}{(-1,3)^2} = \frac{1}{1,69} = \frac{1}{\frac{169}{100}} = \frac{100}{169}$
$(2\frac{1}{4})^{-2} = (\frac{9}{4})^{-2} = (\frac{4}{9})^2 = \frac{4^2}{9^2} = \frac{16}{81}$

Ответ: $1$; $0,01$; $2,5$; $8$; $\frac{100}{169}$; $\frac{16}{81}$.

2)

$\sqrt[3]{27} = \sqrt[3]{3^3} = 3$
$\sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^4} = 3$
$\sqrt[5]{32} = \sqrt[5]{2^5} = 2$
$\sqrt[6]{8^2} = \sqrt[6]{(2^3)^2} = \sqrt[6]{2^6} = 2$
$\sqrt[8]{16^2} = \sqrt[8]{(2^4)^2} = \sqrt[8]{2^8} = 2$
$\sqrt[3]{27^2} = (\sqrt[3]{27})^2 = 3^2 = 9$

Ответ: $3$; $3$; $2$; $2$; $2$; $9$.

3)

$8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2$
$27^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{27})^2 = 3^2 = 9$
$10000^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{10000} = \sqrt[4]{10^4} = 10$
$32^{\frac{2}{5}} = (\sqrt[5]{32})^2 = 2^2 = 4$
$32^{-\frac{3}{5}} = \frac{1}{32^{\frac{3}{5}}} = \frac{1}{(\sqrt[5]{32})^3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$
$(\frac{27}{64})^{\frac{2}{3}} = \frac{27^{\frac{2}{3}}}{64^{\frac{2}{3}}} = \frac{(\sqrt[3]{27})^2}{(\sqrt[3]{64})^2} = \frac{3^2}{4^2} = \frac{9}{16}$

Ответ: $2$; $9$; $10$; $4$; $\frac{1}{8}$; $\frac{9}{16}$.

512. 1) $\sqrt[3]{6^3 \cdot 5^3}$, $\sqrt[4]{324} \cdot \sqrt[4]{4}$, $\sqrt[4]{\frac{125}{8}} : \sqrt[4]{\frac{2}{5}}$;

2) $65^0 : 8^{-2}$, $16^{\frac{1}{4}} \cdot 32^{\frac{1}{5}}$, $(\frac{1}{15})^{-1} : 9^{\frac{1}{2}}$, $8^{\frac{1}{3}} \cdot (\frac{1}{2})^4 : 16^{-1}$;

3) $\frac{6^{\frac{1}{4}} \cdot 6^{-\frac{1}{4}}}{6^2}$, $\frac{9^{\frac{7}{3}} \cdot 9^{-\frac{4}{3}}}{9^2}$, $\frac{(0,5)^{0,3} \cdot (0,5)^{-1}}{(0,5)^{1,3}}$.

Для выражения $\sqrt[3]{6^3 \cdot 5^3}$:
Используем свойство корня из произведения и степени: $\sqrt[n]{a^n \cdot b^n} = \sqrt[n]{(a \cdot b)^n} = a \cdot b$.
$\sqrt[3]{6^3 \cdot 5^3} = \sqrt[3]{(6 \cdot 5)^3} = 6 \cdot 5 = 30$.
Ответ: 30

Для выражения $\sqrt[4]{324} \cdot \sqrt[4]{4}$:
Используем свойство произведения корней одинаковой степени: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.
$\sqrt[4]{324} \cdot \sqrt[4]{4} = \sqrt[4]{324 \cdot 4} = \sqrt[4]{1296}$.
Поскольку $6^4 = 1296$, то $\sqrt[4]{1296} = 6$.
Ответ: 6

Для выражения $\sqrt[4]{15\frac{5}{8}} : \sqrt[4]{\frac{2}{5}}$:
Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $15\frac{5}{8} = \frac{15 \cdot 8 + 5}{8} = \frac{125}{8}$.
Используем свойство частного корней одинаковой степени: $\sqrt[n]{a} : \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a:b}$.
$\sqrt[4]{\frac{125}{8}} : \sqrt[4]{\frac{2}{5}} = \sqrt[4]{\frac{125}{8} : \frac{2}{5}} = \sqrt[4]{\frac{125}{8} \cdot \frac{5}{2}} = \sqrt[4]{\frac{625}{16}}$.
Так как $5^4 = 625$ и $2^4 = 16$, то $\sqrt[4]{\frac{625}{16}} = \frac{\sqrt[4]{625}}{\sqrt[4]{16}} = \frac{5}{2} = 2,5$.
Ответ: 2,5

Для выражения $65^0 : 8^{-2}$:
Любое ненулевое число в нулевой степени равно 1 ($a^0 = 1$), а отрицательная степень означает обратное число ($a^{-n} = \frac{1}{a^n}$).
$65^0 = 1$.
$8^{-2} = \frac{1}{8^2} = \frac{1}{64}$.
Следовательно, $1 : \frac{1}{64} = 1 \cdot 64 = 64$.
Ответ: 64

Для выражения $16^{\frac{1}{4}} \cdot 32^{\frac{1}{5}}$:
Используем определение дробной степени $a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$.
$16^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{16} = \sqrt[4]{2^4} = 2$.
$32^{\frac{1}{5}} = \sqrt[5]{32} = \sqrt[5]{2^5} = 2$.
$2 \cdot 2 = 4$.
Ответ: 4

Для выражения $(\frac{1}{15})^{-1} : 9^{\frac{1}{2}}$:
$(\frac{1}{15})^{-1} = 15$.
$9^{\frac{1}{2}} = \sqrt{9} = 3$.
$15 : 3 = 5$.
Ответ: 5

Для выражения $8^{\frac{1}{3}} \cdot (\frac{1}{2})^4 : 16^{-1}$:
$8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2$.
$(\frac{1}{2})^4 = \frac{1^4}{2^4} = \frac{1}{16}$.
$16^{-1} = \frac{1}{16}$.
$2 \cdot \frac{1}{16} : \frac{1}{16} = \frac{2}{16} \cdot 16 = 2$.
Ответ: 2

Для выражения $\frac{6^{\frac{1}{4}} \cdot 6^{-\frac{1}{4}}}{6^2}$:
В числителе используем правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$6^{\frac{1}{4}} \cdot 6^{-\frac{1}{4}} = 6^{\frac{1}{4} - \frac{1}{4}} = 6^0 = 1$.
Получаем дробь: $\frac{1}{6^2} = \frac{1}{36}$.
Ответ: $\frac{1}{36}$

Для выражения $\frac{9^{\frac{7}{3}} \cdot 9^{-\frac{4}{3}}}{9^2}$:
Упростим числитель: $9^{\frac{7}{3}} \cdot 9^{-\frac{4}{3}} = 9^{\frac{7}{3} - \frac{4}{3}} = 9^{\frac{3}{3}} = 9^1 = 9$.
Теперь разделим на знаменатель, используя правило деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{9^1}{9^2} = 9^{1-2} = 9^{-1} = \frac{1}{9}$.
Ответ: $\frac{1}{9}$

Для выражения $\frac{(0,5)^{0,3} \cdot (0,5)^{-1}}{(0,5)^{1,3}}$:
Объединим степени с одинаковым основанием:
$\frac{(0,5)^{0,3 + (-1)}}{(0,5)^{1,3}} = \frac{(0,5)^{-0,7}}{(0,5)^{1,3}} = (0,5)^{-0,7 - 1,3} = (0,5)^{-2}$.
Вычисляем результат: $(0,5)^{-2} = (\frac{1}{2})^{-2} = 2^2 = 4$.
Ответ: 4

513. 1) $(\frac{1}{27} \cdot 125^{-1})^{-\frac{1}{3}}$;

2) $(0,01)^{-2} : 100^{-\frac{1}{2}}$;

3) $(2\frac{10}{27})^{-\frac{2}{3}} \cdot (\frac{3}{4})^2$.

1) $(\frac{1}{27} \cdot 125^{-1})^{-\frac{1}{3}}$

Для решения данного примера воспользуемся свойствами степеней.

Сначала преобразуем выражение в скобках. Используем свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$125^{-1} = \frac{1}{125}$

Тогда выражение в скобках примет вид:

$\frac{1}{27} \cdot \frac{1}{125} = \frac{1}{27 \cdot 125}$

Представим числа 27 и 125 в виде степеней:

$27 = 3^3$

$125 = 5^3$

Следовательно, $\frac{1}{27 \cdot 125} = \frac{1}{3^3 \cdot 5^3} = \frac{1}{(3 \cdot 5)^3} = \frac{1}{15^3} = 15^{-3}$.

Теперь подставим это в исходное выражение:

$(15^{-3})^{-\frac{1}{3}}$

Используем свойство степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$15^{(-3) \cdot (-\frac{1}{3})} = 15^1 = 15$.

Другой способ решения. Используя свойство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$, можно записать:

$(\frac{1}{27 \cdot 125})^{-\frac{1}{3}} = (27 \cdot 125)^{\frac{1}{3}}$

Далее, используя свойство $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$:

$27^{\frac{1}{3}} \cdot 125^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{125} = 3 \cdot 5 = 15$.

Ответ: $15$

2) $(0,01)^{-2} : 100^{-\frac{1}{2}}$

Для решения представим десятичную дробь и число 100 в виде степеней числа 10.

$0,01 = \frac{1}{100} = 10^{-2}$

$100 = 10^2$

Подставим эти значения в исходное выражение:

$(10^{-2})^{-2} : (10^2)^{-\frac{1}{2}}$

Используем свойство степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ для каждого члена выражения:

$(10^{-2})^{-2} = 10^{(-2) \cdot (-2)} = 10^4$

$(10^2)^{-\frac{1}{2}} = 10^{2 \cdot (-\frac{1}{2})} = 10^{-1}$

Теперь выполним деление, используя свойство $a^m : a^n = a^{m-n}$:

$10^4 : 10^{-1} = 10^{4 - (-1)} = 10^{4+1} = 10^5 = 100000$.

Другой способ решения. Вычислим каждый член отдельно:

$(0,01)^{-2} = (\frac{1}{100})^{-2} = 100^2 = 10000$

$100^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{100^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{100}} = \frac{1}{10}$

Теперь выполним деление:

$10000 : \frac{1}{10} = 10000 \cdot 10 = 100000$.

Ответ: $100000$

3) $(2\frac{10}{27})^{-\frac{2}{3}} \cdot (\frac{3}{4})^2$

Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$2\frac{10}{27} = \frac{2 \cdot 27 + 10}{27} = \frac{54 + 10}{27} = \frac{64}{27}$

Теперь выражение выглядит так:

$(\frac{64}{27})^{-\frac{2}{3}} \cdot (\frac{3}{4})^2$

Представим числа 64 и 27 в виде степеней: $64 = 4^3$ и $27 = 3^3$. Тогда дробь можно записать как:

$\frac{64}{27} = \frac{4^3}{3^3} = (\frac{4}{3})^3$

Подставим это в первый множитель:

$((\frac{4}{3})^3)^{-\frac{2}{3}}$

Используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем:

$(\frac{4}{3})^{3 \cdot (-\frac{2}{3})} = (\frac{4}{3})^{-2}$

Теперь используем свойство $a^{-n} = (\frac{1}{a})^n$:

$(\frac{4}{3})^{-2} = (\frac{3}{4})^2$

Подставим полученное значение обратно в исходное выражение:

$(\frac{3}{4})^2 \cdot (\frac{3}{4})^2$

Используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получим:

$(\frac{3}{4})^{2+2} = (\frac{3}{4})^4$

Вычисляем результат:

$\frac{3^4}{4^4} = \frac{81}{256}$

Ответ: $\frac{81}{256}$

514. 1) $ \sqrt[4]{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt[4]{6\frac{3}{4}} $;

2) $ \sqrt[3]{11\frac{1}{4}} : \sqrt[3]{3\frac{1}{3}} $;

3) $ \left(\sqrt{\sqrt[3]{16}}\right)^3 $.

1) $\sqrt[4]{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt[4]{6\frac{3}{4}}$

Для решения воспользуемся свойством произведения корней с одинаковым показателем: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.

Сначала преобразуем смешанное число $6\frac{3}{4}$ в неправильную дробь:

$6\frac{3}{4} = \frac{6 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{27}{4}$

Теперь объединим множители под одним знаком корня и выполним умножение:

$\sqrt[4]{\frac{3}{4} \cdot \frac{27}{4}} = \sqrt[4]{\frac{3 \cdot 27}{4 \cdot 4}} = \sqrt[4]{\frac{81}{16}}$

Извлечем корень четвертой степени из числителя и знаменателя. Так как $3^4 = 81$ и $2^4 = 16$, получаем:

$\frac{\sqrt[4]{81}}{\sqrt[4]{16}} = \frac{3}{2}$

Ответ: $\frac{3}{2}$

2) $\sqrt[3]{11\frac{1}{4}} : \sqrt[3]{3\frac{1}{3}}$

Для решения используем свойство частного корней с одинаковым показателем: $\sqrt[n]{a} : \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a : b}$.

Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$11\frac{1}{4} = \frac{11 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{45}{4}$

$3\frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{10}{3}$

Теперь объединим выражения под одним знаком корня и выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:

$\sqrt[3]{\frac{45}{4} : \frac{10}{3}} = \sqrt[3]{\frac{45}{4} \cdot \frac{3}{10}}$

Перед умножением сократим дроби:

$\sqrt[3]{\frac{45 \cdot 3}{4 \cdot 10}} = \sqrt[3]{\frac{(9 \cdot 5) \cdot 3}{4 \cdot (2 \cdot 5)}} = \sqrt[3]{\frac{9 \cdot 3}{4 \cdot 2}} = \sqrt[3]{\frac{27}{8}}$

Извлечем кубический корень из числителя и знаменателя. Так как $3^3 = 27$ и $2^3 = 8$, получаем:

$\frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{3}{2}$

Ответ: $\frac{3}{2}$

3) $(\sqrt{\sqrt[3]{16}})^3$

Для упрощения этого выражения воспользуемся свойствами степеней и корней. Наиболее простой способ — применить свойство возведения корня в степень $(\sqrt{a})^m = \sqrt{a^m}$.

В нашем случае $a = \sqrt[3]{16}$ и $m=3$. Применяя свойство, получаем:

$(\sqrt{\sqrt[3]{16}})^3 = \sqrt{(\sqrt[3]{16})^3}$

Теперь рассмотрим выражение, оказавшееся под знаком квадратного корня: $(\sqrt[3]{16})^3$. Операции извлечения кубического корня и возведения в куб являются взаимно обратными, поэтому их результат равен подкоренному выражению:

$(\sqrt[3]{16})^3 = 16$

Подставим это значение обратно в выражение:

$\sqrt{16}$

Результатом является:

$\sqrt{16} = 4$

Ответ: $4$

515. Расположить числа в порядке возрастания:

1) $1^{3,75}$, $2^{-1}$, $(\frac{1}{2})^{-3}$;

2) $98^0$, $(\frac{3}{7})^{-1}$, $32^{\frac{1}{5}}$;

3) $\sqrt[3]{5,7}$, $(\frac{1}{10})^{-4}$, $(3,7)^0$;

4) $(\frac{2}{3})^{-2}$, $\sqrt{1,6}$, $(0,3)^{-3}$.

1) Для того чтобы расположить числа в порядке возрастания, необходимо вычислить или оценить значение каждого из них.

Первое число: $1^{3.75} = 1$, так как 1 в любой степени равно 1.

Второе число: $2^{-1} = \frac{1}{2^1} = \frac{1}{2} = 0.5$.

Третье число: $(\frac{1}{2})^{-3} = (\frac{2}{1})^3 = 2^3 = 8$.

Полученные значения: $1$, $0.5$, $8$.

Располагаем их в порядке возрастания: $0.5 < 1 < 8$.

Соответственно, исходные числа в порядке возрастания: $2^{-1}, 1^{3.75}, (\frac{1}{2})^{-3}$.

Ответ: $2^{-1}, 1^{3.75}, (\frac{1}{2})^{-3}$.

2) Вычислим или оценим значение каждого числа.

Первое число: $98^0 = 1$, так как любое ненулевое число в нулевой степени равно 1.

Второе число: $(\frac{3}{7})^{-1} = (\frac{7}{3})^1 = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}$.

Третье число: $32^{\frac{1}{5}} = \sqrt[5]{32} = 2$, так как $2^5 = 32$.

Полученные значения: $1$, $2\frac{1}{3}$, $2$.

Располагаем их в порядке возрастания: $1 < 2 < 2\frac{1}{3}$.

Соответственно, исходные числа в порядке возрастания: $98^0, 32^{\frac{1}{5}}, (\frac{3}{7})^{-1}$.

Ответ: $98^0, 32^{\frac{1}{5}}, (\frac{3}{7})^{-1}$.

3) Вычислим или оценим значение каждого числа.

Первое число: $\sqrt[3]{5.7}$. Мы знаем, что $1^3 = 1$ и $2^3 = 8$. Поскольку $1 < 5.7 < 8$, то $1 < \sqrt[3]{5.7} < 2$.

Второе число: $(\frac{1}{10})^{-4} = (\frac{10}{1})^4 = 10^4 = 10000$.

Третье число: $(3.7)^0 = 1$.

Полученные значения: $\sqrt[3]{5.7}$ (число между 1 и 2), $10000$, $1$.

Располагаем их в порядке возрастания: $1 < \sqrt[3]{5.7} < 10000$.

Соответственно, исходные числа в порядке возрастания: $(3.7)^0, \sqrt[3]{5.7}, (\frac{1}{10})^{-4}$.

Ответ: $(3.7)^0, \sqrt[3]{5.7}, (\frac{1}{10})^{-4}$.

4) Вычислим или оценим значение каждого числа.

Первое число: $(\frac{2}{3})^{-2} = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4} = 2.25$.

Второе число: $\sqrt{1.6}$. Мы знаем, что $1^2 = 1$ и $2^2 = 4$. Поскольку $1 < 1.6 < 4$, то $1 < \sqrt{1.6} < 2$. Точнее, $1.2^2 = 1.44$ и $1.3^2 = 1.69$, значит $1.2 < \sqrt{1.6} < 1.3$.

Третье число: $(0.3)^{-3} = (\frac{3}{10})^{-3} = (\frac{10}{3})^3 = \frac{1000}{27} \approx 37.037$.

Полученные значения: $2.25$, $\sqrt{1.6}$ (число между 1.2 и 1.3), $\frac{1000}{27}$ (примерно 37).

Располагаем их в порядке возрастания: $\sqrt{1.6} < 2.25 < \frac{1000}{27}$.

Соответственно, исходные числа в порядке возрастания: $\sqrt{1.6}, (\frac{2}{3})^{-2}, (0.3)^{-3}$.

Ответ: $\sqrt{1.6}, (\frac{2}{3})^{-2}, (0.3)^{-3}$.