Номер 514, страница 166 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

514. 1) $ \sqrt[4]{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt[4]{6\frac{3}{4}} $;

2) $ \sqrt[3]{11\frac{1}{4}} : \sqrt[3]{3\frac{1}{3}} $;

3) $ \left(\sqrt{\sqrt[3]{16}}\right)^3 $.

1) $\sqrt[4]{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt[4]{6\frac{3}{4}}$

Для решения воспользуемся свойством произведения корней с одинаковым показателем: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.

Сначала преобразуем смешанное число $6\frac{3}{4}$ в неправильную дробь:

$6\frac{3}{4} = \frac{6 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{27}{4}$

Теперь объединим множители под одним знаком корня и выполним умножение:

$\sqrt[4]{\frac{3}{4} \cdot \frac{27}{4}} = \sqrt[4]{\frac{3 \cdot 27}{4 \cdot 4}} = \sqrt[4]{\frac{81}{16}}$

Извлечем корень четвертой степени из числителя и знаменателя. Так как $3^4 = 81$ и $2^4 = 16$, получаем:

$\frac{\sqrt[4]{81}}{\sqrt[4]{16}} = \frac{3}{2}$

Ответ: $\frac{3}{2}$

2) $\sqrt[3]{11\frac{1}{4}} : \sqrt[3]{3\frac{1}{3}}$

Для решения используем свойство частного корней с одинаковым показателем: $\sqrt[n]{a} : \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a : b}$.

Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$11\frac{1}{4} = \frac{11 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{45}{4}$

$3\frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{10}{3}$

Теперь объединим выражения под одним знаком корня и выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:

$\sqrt[3]{\frac{45}{4} : \frac{10}{3}} = \sqrt[3]{\frac{45}{4} \cdot \frac{3}{10}}$

Перед умножением сократим дроби:

$\sqrt[3]{\frac{45 \cdot 3}{4 \cdot 10}} = \sqrt[3]{\frac{(9 \cdot 5) \cdot 3}{4 \cdot (2 \cdot 5)}} = \sqrt[3]{\frac{9 \cdot 3}{4 \cdot 2}} = \sqrt[3]{\frac{27}{8}}$

Извлечем кубический корень из числителя и знаменателя. Так как $3^3 = 27$ и $2^3 = 8$, получаем:

$\frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{3}{2}$

Ответ: $\frac{3}{2}$

3) $(\sqrt{\sqrt[3]{16}})^3$

Для упрощения этого выражения воспользуемся свойствами степеней и корней. Наиболее простой способ — применить свойство возведения корня в степень $(\sqrt{a})^m = \sqrt{a^m}$.

В нашем случае $a = \sqrt[3]{16}$ и $m=3$. Применяя свойство, получаем:

$(\sqrt{\sqrt[3]{16}})^3 = \sqrt{(\sqrt[3]{16})^3}$

Теперь рассмотрим выражение, оказавшееся под знаком квадратного корня: $(\sqrt[3]{16})^3$. Операции извлечения кубического корня и возведения в куб являются взаимно обратными, поэтому их результат равен подкоренному выражению:

$(\sqrt[3]{16})^3 = 16$

Подставим это значение обратно в выражение:

$\sqrt{16}$

Результатом является:

$\sqrt{16} = 4$

Ответ: $4$