Номер 517, страница 167 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава IV. Степень с действительным показателем. Упражнения к главе IV - номер 517, страница 167.

Условие.

517. Упростить выражение, представив его в виде степени с основанием a:

1) $\frac{a^{1\tfrac{1}{2}} a^{-0.5}}{a^{\frac{2}{3}}}$;

2) $\frac{a^{-3} a^{\frac{7}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}}$;

3) $(a^{2.5})^2 \sqrt[5]{a}$;

4) $\sqrt[7]{a^2} \left(a^{\frac{3}{14}}\right)^2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Для упрощения выражения $ \frac{a^{1\frac{1}{2}} a^{-0,5}}{a^{\frac{2}{3}}} $ необходимо последовательно выполнить действия со степенями.

Сначала преобразуем все показатели степени в обыкновенные или десятичные дроби для удобства вычислений. Представим смешанное число $1\frac{1}{2}$ как $\frac{3}{2}$, а десятичную дробь $-0,5$ как $-\frac{1}{2}$.

Выражение в числителе примет вид: $ a^{\frac{3}{2}} \cdot a^{-\frac{1}{2}} $. Согласно свойству степеней, при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):
$ a^{\frac{3}{2} + (-\frac{1}{2})} = a^{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}} = a^{\frac{2}{2}} = a^1 = a $.

Теперь исходное выражение можно записать как $ \frac{a}{a^{\frac{2}{3}}} $. Согласно свойству степеней, при делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$):
$ a^{1 - \frac{2}{3}} = a^{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}} = a^{\frac{1}{3}} $.

Ответ: $ a^{\frac{1}{3}} $

2) Упростим выражение $ \frac{a^{-3} a^{\frac{7}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}} $.

Сначала выполним умножение в числителе, сложив показатели степеней:
$ a^{-3} \cdot a^{\frac{7}{3}} = a^{-3 + \frac{7}{3}} $. Приведем $-3$ к дроби со знаменателем 3: $-3 = -\frac{9}{3}$.
$ a^{-\frac{9}{3} + \frac{7}{3}} = a^{-\frac{2}{3}} $.

Теперь разделим полученный результат на знаменатель, вычитая показатели степеней:
$ \frac{a^{-\frac{2}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}} = a^{-\frac{2}{3} - \frac{1}{3}} = a^{-\frac{3}{3}} = a^{-1} $.

Ответ: $ a^{-1} $

3) Упростим выражение $ (a^{2,5})^2 \cdot \sqrt[5]{a} $.

Представим каждый множитель в виде степени с основанием $a$.
Для первого множителя используем свойство возведения степени в степень ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$):
$ (a^{2,5})^2 = a^{2,5 \cdot 2} = a^5 $.

Для второго множителя представим корень в виде степени с дробным показателем ($\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$):
$ \sqrt[5]{a} = \sqrt[5]{a^1} = a^{\frac{1}{5}} $.

Теперь перемножим полученные степени, сложив их показатели:
$ a^5 \cdot a^{\frac{1}{5}} = a^{5 + \frac{1}{5}} = a^{\frac{25}{5} + \frac{1}{5}} = a^{\frac{26}{5}} $.

Ответ: $ a^{\frac{26}{5}} $

4) Упростим выражение $ \sqrt[7]{a^2} \cdot (a^{\frac{3}{14}})^2 $.

Представим каждый множитель в виде степени с основанием $a$.
Представим корень в виде степени с дробным показателем:
$ \sqrt[7]{a^2} = a^{\frac{2}{7}} $.

Для второго множителя используем свойство возведения степени в степень:
$ (a^{\frac{3}{14}})^2 = a^{\frac{3}{14} \cdot 2} = a^{\frac{6}{14}} $. Сократим дробь в показателе: $ a^{\frac{3}{7}} $.

Теперь перемножим полученные степени, сложив их показатели:
$ a^{\frac{2}{7}} \cdot a^{\frac{3}{7}} = a^{\frac{2}{7} + \frac{3}{7}} = a^{\frac{5}{7}} $.

Ответ: $ a^{\frac{5}{7}} $