Номер 516, страница 167 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

516. Сравнить числа:

1) $(0,88)^{\frac{1}{6}}$ и $\left(\frac{6}{11}\right)^{\frac{1}{6}}$;

2) $\left(\frac{5}{12}\right)^{-\frac{1}{4}}$ и $(0,41)^{-\frac{1}{4}}$;

3) $(4,09)^{\frac{3}{2}}$ и $\left(4\frac{3}{25}\right)^{\frac{3}{2}}$;

4) $\left(\frac{11}{12}\right)^{-\sqrt{5}}$ и $\left(\frac{12}{13}\right)^{-\sqrt{5}}$.

1) Для сравнения чисел $(0,88)^{\frac{1}{6}}$ и $(\frac{6}{11})^{\frac{1}{6}}$ воспользуемся свойством степенной функции $y = x^a$. Показатели степеней у обоих чисел одинаковы и равны $a = \frac{1}{6}$. Так как показатель степени $a = \frac{1}{6} > 0$, функция является возрастающей при $x > 0$. Это означает, что большему значению основания соответствует большее значение функции.

Теперь сравним основания: $0,88$ и $\frac{6}{11}$. Для этого переведем десятичную дробь в обыкновенную:

$0,88 = \frac{88}{100} = \frac{22}{25}$.

Сравним дроби $\frac{22}{25}$ и $\frac{6}{11}$. Приведем их к общему знаменателю $25 \times 11 = 275$:

$\frac{22}{25} = \frac{22 \times 11}{25 \times 11} = \frac{242}{275}$

$\frac{6}{11} = \frac{6 \times 25}{11 \times 25} = \frac{150}{275}$

Поскольку $242 > 150$, то $\frac{242}{275} > \frac{150}{275}$, а значит $0,88 > \frac{6}{11}$.

Так как основание $0,88$ больше основания $\frac{6}{11}$, а функция возрастающая, то и значение степени будет больше.

Ответ: $(0,88)^{\frac{1}{6}} > (\frac{6}{11})^{\frac{1}{6}}$.

2) Для сравнения чисел $(\frac{5}{12})^{-\frac{1}{4}}$ и $(0,41)^{-\frac{1}{4}}$ рассмотрим степенную функцию $y = x^a$ с показателем $a = -\frac{1}{4}$. Так как показатель степени $a = -\frac{1}{4} < 0$, функция является убывающей при $x > 0$. Это означает, что большему значению основания соответствует меньшее значение функции.

Сравним основания: $\frac{5}{12}$ и $0,41$. Переведем десятичную дробь в обыкновенную: $0,41 = \frac{41}{100}$.

Сравним дроби $\frac{5}{12}$ и $\frac{41}{100}$ с помощью перекрестного умножения:

$5 \times 100 = 500$

$12 \times 41 = 492$

Так как $500 > 492$, то $\frac{5}{12} > \frac{41}{100}$, то есть $\frac{5}{12} > 0,41$.

Поскольку основание $\frac{5}{12}$ больше основания $0,41$, а функция убывающая, то для значений степеней неравенство меняет знак на противоположный.

Ответ: $(\frac{5}{12})^{-\frac{1}{4}} < (0,41)^{-\frac{1}{4}}$.

3) Для сравнения чисел $(4,09)^{\frac{3\sqrt{2}}{2}}$ и $(4\frac{3}{25})^{\frac{3\sqrt{2}}{2}}$ рассмотрим степенную функцию с показателем $a = \frac{3\sqrt{2}}{2}$. Так как $a = \frac{3\sqrt{2}}{2} > 0$, функция является возрастающей при $x > 0$. Следовательно, большему основанию соответствует большее значение функции.

Сравним основания: $4,09$ и $4\frac{3}{25}$. Переведем смешанную дробь в десятичную:

$4\frac{3}{25} = 4 + \frac{3}{25} = 4 + \frac{3 \times 4}{25 \times 4} = 4 + \frac{12}{100} = 4,12$.

Сравнивая $4,09$ и $4,12$, видим, что $4,09 < 4,12$. Значит, $4,09 < 4\frac{3}{25}$.

Так как основание $4,09$ меньше основания $4\frac{3}{25}$ и функция возрастающая, то и значение степени будет меньше.

Ответ: $(4,09)^{\frac{3\sqrt{2}}{2}} < (4\frac{3}{25})^{\frac{3\sqrt{2}}{2}}$.

4) Для сравнения чисел $(\frac{11}{12})^{-\sqrt{5}}$ и $(\frac{12}{13})^{-\sqrt{5}}$ рассмотрим степенную функцию с показателем $a = -\sqrt{5}$. Так как $a = -\sqrt{5} < 0$, функция является убывающей при $x > 0$. Это означает, что большему значению основания соответствует меньшее значение функции.

Сравним основания: $\frac{11}{12}$ и $\frac{12}{13}$. Можно представить их как $1 - \frac{1}{12}$ и $1 - \frac{1}{13}$.

Сравним дроби $\frac{1}{12}$ и $\frac{1}{13}$. Так как $12 < 13$, то $\frac{1}{12} > \frac{1}{13}$.

Из единицы в первом случае вычитается большее число ($\frac{1}{12}$), а во втором - меньшее ($\frac{1}{13}$), значит, результат в первом случае будет меньше: $1 - \frac{1}{12} < 1 - \frac{1}{13}$. Следовательно, $\frac{11}{12} < \frac{12}{13}$.

Поскольку основание $\frac{11}{12}$ меньше основания $\frac{12}{13}$, а функция убывающая, то для значений степеней неравенство меняет знак на противоположный.

Ответ: $(\frac{11}{12})^{-\sqrt{5}} > (\frac{12}{13})^{-\sqrt{5}}$.