Номер 515, страница 166 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе IV. Глава IV. Степень с действительным показателем - номер 515, страница 166.

Условие.

515. Расположить числа в порядке возрастания:

1) $1^{3,75}$, $2^{-1}$, $(\frac{1}{2})^{-3}$;

2) $98^0$, $(\frac{3}{7})^{-1}$, $32^{\frac{1}{5}}$;

3) $\sqrt[3]{5,7}$, $(\frac{1}{10})^{-4}$, $(3,7)^0$;

4) $(\frac{2}{3})^{-2}$, $\sqrt{1,6}$, $(0,3)^{-3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Для того чтобы расположить числа в порядке возрастания, необходимо вычислить или оценить значение каждого из них.

Первое число: $1^{3.75} = 1$, так как 1 в любой степени равно 1.

Второе число: $2^{-1} = \frac{1}{2^1} = \frac{1}{2} = 0.5$.

Третье число: $(\frac{1}{2})^{-3} = (\frac{2}{1})^3 = 2^3 = 8$.

Полученные значения: $1$, $0.5$, $8$.

Располагаем их в порядке возрастания: $0.5 < 1 < 8$.

Соответственно, исходные числа в порядке возрастания: $2^{-1}, 1^{3.75}, (\frac{1}{2})^{-3}$.

Ответ: $2^{-1}, 1^{3.75}, (\frac{1}{2})^{-3}$.

2) Вычислим или оценим значение каждого числа.

Первое число: $98^0 = 1$, так как любое ненулевое число в нулевой степени равно 1.

Второе число: $(\frac{3}{7})^{-1} = (\frac{7}{3})^1 = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}$.

Третье число: $32^{\frac{1}{5}} = \sqrt[5]{32} = 2$, так как $2^5 = 32$.

Полученные значения: $1$, $2\frac{1}{3}$, $2$.

Располагаем их в порядке возрастания: $1 < 2 < 2\frac{1}{3}$.

Соответственно, исходные числа в порядке возрастания: $98^0, 32^{\frac{1}{5}}, (\frac{3}{7})^{-1}$.

Ответ: $98^0, 32^{\frac{1}{5}}, (\frac{3}{7})^{-1}$.

3) Вычислим или оценим значение каждого числа.

Первое число: $\sqrt[3]{5.7}$. Мы знаем, что $1^3 = 1$ и $2^3 = 8$. Поскольку $1 < 5.7 < 8$, то $1 < \sqrt[3]{5.7} < 2$.

Второе число: $(\frac{1}{10})^{-4} = (\frac{10}{1})^4 = 10^4 = 10000$.

Третье число: $(3.7)^0 = 1$.

Полученные значения: $\sqrt[3]{5.7}$ (число между 1 и 2), $10000$, $1$.

Располагаем их в порядке возрастания: $1 < \sqrt[3]{5.7} < 10000$.

Соответственно, исходные числа в порядке возрастания: $(3.7)^0, \sqrt[3]{5.7}, (\frac{1}{10})^{-4}$.

Ответ: $(3.7)^0, \sqrt[3]{5.7}, (\frac{1}{10})^{-4}$.

4) Вычислим или оценим значение каждого числа.

Первое число: $(\frac{2}{3})^{-2} = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4} = 2.25$.

Второе число: $\sqrt{1.6}$. Мы знаем, что $1^2 = 1$ и $2^2 = 4$. Поскольку $1 < 1.6 < 4$, то $1 < \sqrt{1.6} < 2$. Точнее, $1.2^2 = 1.44$ и $1.3^2 = 1.69$, значит $1.2 < \sqrt{1.6} < 1.3$.

Третье число: $(0.3)^{-3} = (\frac{3}{10})^{-3} = (\frac{10}{3})^3 = \frac{1000}{27} \approx 37.037$.

Полученные значения: $2.25$, $\sqrt{1.6}$ (число между 1.2 и 1.3), $\frac{1000}{27}$ (примерно 37).

Располагаем их в порядке возрастания: $\sqrt{1.6} < 2.25 < \frac{1000}{27}$.

Соответственно, исходные числа в порядке возрастания: $\sqrt{1.6}, (\frac{2}{3})^{-2}, (0.3)^{-3}$.

Ответ: $\sqrt{1.6}, (\frac{2}{3})^{-2}, (0.3)^{-3}$.