Номер 518, страница 167 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

518. Упростить выражение:

1) $x^{-2\sqrt{2}} \cdot \left(\frac{1}{x^{-\sqrt{2}-1}}\right)^{\sqrt{2}+1}$

2) $\left(\frac{a^{\sqrt{3}}}{b^{\sqrt{3}-1}}\right)^{\sqrt{3}+1} \cdot \frac{a^{-1-\sqrt{3}}}{b^{-2}}$

1)
Исходное выражение: $x^{-2\sqrt{2}} \cdot \left(\frac{1}{x^{-\sqrt{2}-1}}\right)^{\sqrt{2}+1}$.
Сначала упростим выражение в скобках, используя свойство степени $\frac{1}{a^n} = a^{-n}$:
$\frac{1}{x^{-\sqrt{2}-1}} = x^{-(-\sqrt{2}-1)} = x^{\sqrt{2}+1}$.
Подставим это обратно в исходное выражение:
$x^{-2\sqrt{2}} \cdot \left(x^{\sqrt{2}+1}\right)^{\sqrt{2}+1}$.
Теперь применим свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$ ко второму множителю:
$(x^{\sqrt{2}+1})^{\sqrt{2}+1} = x^{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}+1)} = x^{(\sqrt{2}+1)^2}$.
Раскроем квадрат суммы в показателе степени:
$(\sqrt{2}+1)^2 = (\sqrt{2})^2 + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 1 + 1^2 = 2 + 2\sqrt{2} + 1 = 3 + 2\sqrt{2}$.
Таким образом, выражение принимает вид:
$x^{-2\sqrt{2}} \cdot x^{3+2\sqrt{2}}$.
Используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$x^{-2\sqrt{2} + 3+2\sqrt{2}} = x^{3}$.
Ответ: $x^3$.

2)
Исходное выражение: $\left(\frac{a^{\sqrt{3}}}{b^{\sqrt{3}-1}}\right)^{\sqrt{3}+1} \cdot \frac{a^{-1-\sqrt{3}}}{b^{-2}}$.
Применим свойство возведения дроби в степень $(\frac{x}{y})^n = \frac{x^n}{y^n}$ к первому множителю:
$\frac{(a^{\sqrt{3}})^{\sqrt{3}+1}}{(b^{\sqrt{3}-1})^{\sqrt{3}+1}} \cdot \frac{a^{-1-\sqrt{3}}}{b^{-2}}$.
Теперь применим свойство возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{mn}$ к числителю и знаменателю первой дроби:
В числителе: $(a^{\sqrt{3}})^{\sqrt{3}+1} = a^{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)} = a^{3+\sqrt{3}}$.
В знаменателе: $(b^{\sqrt{3}-1})^{\sqrt{3}+1} = b^{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}$. Используем формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$: $b^{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = b^{3-1} = b^2$.
Выражение теперь выглядит так:
$\frac{a^{3+\sqrt{3}}}{b^2} \cdot \frac{a^{-1-\sqrt{3}}}{b^{-2}}$.
Перемножим дроби:
$\frac{a^{3+\sqrt{3}} \cdot a^{-1-\sqrt{3}}}{b^2 \cdot b^{-2}}$.
Используем свойство умножения степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$ для числителя и знаменателя:
В числителе: $a^{3+\sqrt{3} + (-1-\sqrt{3})} = a^{3+\sqrt{3}-1-\sqrt{3}} = a^2$.
В знаменателе: $b^{2+(-2)} = b^{2-2} = b^0 = 1$ (при $b \ne 0$).
Таким образом, получаем:
$\frac{a^2}{1} = a^2$.
Ответ: $a^2$.