Номер 521, страница 167 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

521. Сократить дробь:

1) $\frac{y - 16y^{\frac{1}{2}}}{5y^{\frac{1}{4}} + 20}$;

2) $\frac{a^{\frac{4}{5}} - b^{\frac{4}{5}}}{a^{\frac{2}{5}} - b^{\frac{2}{5}}}$.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{y - 16y^{\frac{1}{2}}}{5y^{\frac{1}{4}} + 20}$, преобразуем числитель и знаменатель.

Сначала преобразуем числитель. Вынесем за скобки общий множитель $y^{\frac{1}{2}}$:

$y - 16y^{\frac{1}{2}} = y^{\frac{1}{2}}(y^{\frac{1}{2}} - 16)$.

Выражение в скобках $y^{\frac{1}{2}} - 16$ является разностью квадратов, так как $y^{\frac{1}{2}} = (y^{\frac{1}{4}})^2$ и $16 = 4^2$. Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$y^{\frac{1}{2}} - 16 = (y^{\frac{1}{4}})^2 - 4^2 = (y^{\frac{1}{4}} - 4)(y^{\frac{1}{4}} + 4)$.

Таким образом, числитель равен $y^{\frac{1}{2}}(y^{\frac{1}{4}} - 4)(y^{\frac{1}{4}} + 4)$.

Теперь преобразуем знаменатель. Вынесем за скобки общий множитель 5:

$5y^{\frac{1}{4}} + 20 = 5(y^{\frac{1}{4}} + 4)$.

Теперь подставим преобразованные числитель и знаменатель обратно в дробь:

$\frac{y^{\frac{1}{2}}(y^{\frac{1}{4}} - 4)(y^{\frac{1}{4}} + 4)}{5(y^{\frac{1}{4}} + 4)}$

Сократим общий множитель $(y^{\frac{1}{4}} + 4)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $y \ge 0$, выражение $y^{\frac{1}{4}} + 4$ всегда больше нуля):

$\frac{y^{\frac{1}{2}}(y^{\frac{1}{4}} - 4)}{5}$

Ответ: $\frac{y^{\frac{1}{2}}(y^{\frac{1}{4}} - 4)}{5}$.

2) Чтобы сократить дробь $\frac{a^{\frac{4}{5}} - b^{\frac{4}{5}}}{a^{\frac{2}{5}} - b^{\frac{2}{5}}}$, преобразуем числитель.

Заметим, что числитель представляет собой разность квадратов. Представим $a^{\frac{4}{5}}$ и $b^{\frac{4}{5}}$ в виде квадратов:

$a^{\frac{4}{5}} = (a^{\frac{2}{5}})^2$

$b^{\frac{4}{5}} = (b^{\frac{2}{5}})^2$

Теперь числитель можно записать как $(a^{\frac{2}{5}})^2 - (b^{\frac{2}{5}})^2$.

Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, где $x = a^{\frac{2}{5}}$ и $y = b^{\frac{2}{5}}$:

$(a^{\frac{2}{5}})^2 - (b^{\frac{2}{5}})^2 = (a^{\frac{2}{5}} - b^{\frac{2}{5}})(a^{\frac{2}{5}} + b^{\frac{2}{5}})$.

Подставим полученное выражение в исходную дробь:

$\frac{(a^{\frac{2}{5}} - b^{\frac{2}{5}})(a^{\frac{2}{5}} + b^{\frac{2}{5}})}{a^{\frac{2}{5}} - b^{\frac{2}{5}}}$

Сократим общий множитель $(a^{\frac{2}{5}} - b^{\frac{2}{5}})$ в числителе и знаменателе:

$a^{\frac{2}{5}} + b^{\frac{2}{5}}$

Ответ: $a^{\frac{2}{5}} + b^{\frac{2}{5}}$.