Номер 528, страница 168 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

528. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии с положительными членами, если сумма первых трёх её членов равна 39, а сумма обратных им величин равна $ \frac{13}{27} $.

Пусть $b_1$ — первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель.

По условию, все члены прогрессии положительны, следовательно, $b_1 > 0$. Так как прогрессия является бесконечно убывающей, её знаменатель удовлетворяет условию $|q| < 1$. Поскольку все члены положительны, знаменатель также должен быть положительным, то есть $0 < q < 1$.

Первые три члена прогрессии: $b_1$, $b_2 = b_1q$, $b_3 = b_1q^2$.

Согласно условию, сумма первых трёх членов равна 39: $b_1 + b_1q + b_1q^2 = 39$ Вынесем $b_1$ за скобки: $b_1(1 + q + q^2) = 39$ (1)

Сумма обратных им величин равна $\frac{13}{27}$: $\frac{1}{b_1} + \frac{1}{b_1q} + \frac{1}{b_1q^2} = \frac{13}{27}$ Приведём к общему знаменателю $b_1q^2$: $\frac{q^2 + q + 1}{b_1q^2} = \frac{13}{27}$ (2)

Получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $b_1$ и $q$: $\begin{cases} b_1(1 + q + q^2) = 39 \\ \frac{1 + q + q^2}{b_1q^2} = \frac{13}{27} \end{cases}$

Из первого уравнения выразим множитель $(1 + q + q^2)$: $1 + q + q^2 = \frac{39}{b_1}$

Подставим это выражение во второе уравнение системы: $\frac{\frac{39}{b_1}}{b_1q^2} = \frac{13}{27}$ $\frac{39}{b_1^2q^2} = \frac{13}{27}$

Из этого уравнения выразим $b_1^2q^2$: $b_1^2q^2 = \frac{39 \cdot 27}{13}$ $b_1^2q^2 = 3 \cdot 27 = 81$ $(b_1q)^2 = 81$

Так как по условию $b_1 > 0$ и $q > 0$, то и произведение $b_1q > 0$. Следовательно, извлекая квадратный корень, получаем: $b_1q = 9$ Это означает, что второй член прогрессии $b_2 = 9$. Выразим $b_1$ через $q$: $b_1 = \frac{9}{q}$

Подставим полученное выражение для $b_1$ в первое исходное уравнение: $\frac{9}{q}(1 + q + q^2) = 39$ Разделим обе части уравнения на 3: $\frac{3}{q}(1 + q + q^2) = 13$ Умножим обе части на $q$ (так как $q \neq 0$): $3(1 + q + q^2) = 13q$ $3 + 3q + 3q^2 = 13q$ $3q^2 - 10q + 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант: $D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$ Корни уравнения: $q_1 = \frac{10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ $q_2 = \frac{10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$

Поскольку прогрессия является бесконечно убывающей, должно выполняться условие $|q| < 1$. Этому условию удовлетворяет только корень $q = \frac{1}{3}$. Значение $q=3$ соответствует возрастающей прогрессии.

Теперь найдём первый член прогрессии $b_1$: $b_1 = \frac{9}{q} = \frac{9}{\frac{1}{3}} = 9 \cdot 3 = 27$

Зная первый член $b_1 = 27$ и знаменатель $q = \frac{1}{3}$, мы можем найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии по формуле $S = \frac{b_1}{1 - q}$.

$S = \frac{27}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{27}{\frac{2}{3}} = 27 \cdot \frac{3}{2} = \frac{81}{2} = 40,5$

Ответ: 40,5