Номер 534, страница 168 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

534. Сравнить числа a и b, если:

1) $a = \sqrt{2} + \sqrt{3}$, $b = \sqrt{10}$;

2) $a = \sqrt{13} - \sqrt{12}$, $b = \sqrt{12} - \sqrt{11}$.

1) Сравним числа $a = \sqrt{2} + \sqrt{3}$ и $b = \sqrt{10}$.

Оба числа $a$ и $b$ положительные, поэтому мы можем сравнить их квадраты. Если $a^2 > b^2$, то $a > b$, и наоборот.

Найдем квадрат числа $a$:

$a^2 = (\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 = (\sqrt{2})^2 + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 2 + 2\sqrt{6} + 3 = 5 + 2\sqrt{6}$.

Найдем квадрат числа $b$:

$b^2 = (\sqrt{10})^2 = 10$.

Теперь сравним $a^2$ и $b^2$, то есть $5 + 2\sqrt{6}$ и $10$.

Вычтем 5 из обоих выражений:

$2\sqrt{6}$ и $10 - 5$, то есть $2\sqrt{6}$ и $5$.

Снова возведем оба положительных числа в квадрат:

$(2\sqrt{6})^2 = 4 \cdot 6 = 24$.

$5^2 = 25$.

Так как $24 < 25$, то $2\sqrt{6} < 5$.

Следовательно, $5 + 2\sqrt{6} < 5 + 5$, что означает $5 + 2\sqrt{6} < 10$.

Таким образом, $a^2 < b^2$. Поскольку $a$ и $b$ — положительные числа, из этого следует, что $a < b$.

Ответ: $a < b$.

2) Сравним числа $a = \sqrt{13} - \sqrt{12}$ и $b = \sqrt{12} - \sqrt{11}$.

Оба числа являются положительными. Чтобы избавиться от иррациональности в виде разности, домножим числитель и знаменатель каждого выражения на сопряженное выражение.

Для числа $a$:

$a = \sqrt{13} - \sqrt{12} = \frac{(\sqrt{13} - \sqrt{12})(\sqrt{13} + \sqrt{12})}{\sqrt{13} + \sqrt{12}} = \frac{13 - 12}{\sqrt{13} + \sqrt{12}} = \frac{1}{\sqrt{13} + \sqrt{12}}$.

Для числа $b$:

$b = \sqrt{12} - \sqrt{11} = \frac{(\sqrt{12} - \sqrt{11})(\sqrt{12} + \sqrt{11})}{\sqrt{12} + \sqrt{11}} = \frac{12 - 11}{\sqrt{12} + \sqrt{11}} = \frac{1}{\sqrt{12} + \sqrt{11}}$.

Теперь нам нужно сравнить две дроби с одинаковыми числителями (равными 1). Из двух таких дробей больше та, у которой знаменатель меньше.

Сравним знаменатели: $Z_a = \sqrt{13} + \sqrt{12}$ и $Z_b = \sqrt{12} + \sqrt{11}$.

Так как $13 > 11$, то $\sqrt{13} > \sqrt{11}$.

Прибавив к обеим частям неравенства $\sqrt{12}$, получим:

$\sqrt{13} + \sqrt{12} > \sqrt{11} + \sqrt{12}$, то есть $Z_a > Z_b$.

Поскольку знаменатель дроби $a$ больше знаменателя дроби $b$, сама дробь $a$ будет меньше дроби $b$.

$\frac{1}{\sqrt{13} + \sqrt{12}} < \frac{1}{\sqrt{12} + \sqrt{11}}$, следовательно, $a < b$.

Ответ: $a < b$.