Номер 540, страница 169 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

540. 1) $\frac{a-1}{a^{\frac{3}{4}}+a^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{a^{\frac{1}{2}}+a^{\frac{1}{4}}}{a^{\frac{1}{2}}+1} \cdot a^{\frac{1}{4}} - \sqrt{a}$;

2) $\frac{\sqrt[3]{a}-a^{\frac{7}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}-\sqrt[3]{a^4}} + \frac{a^{-\frac{1}{3}}-(\sqrt[3]{a})^5}{a^{\frac{2}{3}}-(\sqrt[3]{a})^{-1}}$

1)

Для упрощения выражения $ \frac{a-1}{a^{\frac{3}{4}} + a^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{a^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{4}}}{a^{\frac{1}{2}} + 1} \cdot a^{\frac{1}{4}} - \sqrt{a} $ введем замену.

Пусть $x = a^{\frac{1}{4}}$. Тогда $x^2 = a^{\frac{1}{2}}$, $x^3 = a^{\frac{3}{4}}$, $x^4 = a$, и $\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}} = x^2$. Область допустимых значений: $a > 0$, следовательно $x > 0$.

Подставим замену в выражение:

$ \frac{x^4-1}{x^3 + x^2} \cdot \frac{x^2 + x}{x^2 + 1} \cdot x - x^2 $

Разложим на множители числители и знаменатели дробей:

$x^4-1 = (x^2-1)(x^2+1) = (x-1)(x+1)(x^2+1)$
$x^3 + x^2 = x^2(x+1)$
$x^2 + x = x(x+1)$

Подставим разложенные на множители выражения обратно:

$ \frac{(x-1)(x+1)(x^2+1)}{x^2(x+1)} \cdot \frac{x(x+1)}{x^2+1} \cdot x - x^2 $

Сократим общие множители. Так как $a>0$, то $x>0$, и, следовательно, $x+1 \neq 0$ и $x^2+1 \neq 0$.

$ \frac{(x-1)\sout{(x+1)}(x^2+1)}{x^2\sout{(x+1)}} \cdot \frac{x(x+1)}{x^2+1} \cdot x - x^2 = \frac{(x-1)(x^2+1)}{x^2} \cdot \frac{x(x+1)}{x^2+1} \cdot x - x^2$

Сократим $(x^2+1)$:

$ \frac{x-1}{x^2} \cdot x(x+1) \cdot x - x^2 $

Выполним умножение оставшихся членов:

$ \frac{(x-1)x(x+1)x}{x^2} - x^2 = \frac{(x-1)(x+1)x^2}{x^2} - x^2 $

Сократим $x^2$ (так как $x \neq 0$):

$ (x-1)(x+1) - x^2 $

Применив формулу разности квадратов $(x-1)(x+1) = x^2 - 1$, получим:

$ (x^2 - 1) - x^2 = x^2 - 1 - x^2 = -1 $

Ответ: -1

2)

Упростим выражение $ \frac{\sqrt[3]{a} - a^{\frac{7}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{a^4}} + \frac{a^{-\frac{1}{3}} - (\sqrt[3]{a})^5}{a^{\frac{2}{3}} - (\sqrt[3]{a})^{-1}} $.

Сначала запишем все члены выражения в виде степеней с рациональными показателями. Область допустимых значений переменной $a$: $a > 0$ и $a \neq 1$.

$\sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}}$
$\sqrt[3]{a^4} = a^{\frac{4}{3}}$
$(\sqrt[3]{a})^5 = (a^{\frac{1}{3}})^5 = a^{\frac{5}{3}}$
$(\sqrt[3]{a})^{-1} = (a^{\frac{1}{3}})^{-1} = a^{-\frac{1}{3}}$

После подстановки выражение примет вид:

$ \frac{a^{\frac{1}{3}} - a^{\frac{7}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} - a^{\frac{4}{3}}} + \frac{a^{-\frac{1}{3}} - a^{\frac{5}{3}}}{a^{\frac{2}{3}} - a^{-\frac{1}{3}}} $

Упростим каждую дробь по отдельности. Для первой дроби вынесем за скобки общий множитель $a^{\frac{1}{3}}$ в числителе и знаменателе:

$ \frac{a^{\frac{1}{3}}(1 - a^{\frac{7}{3}-\frac{1}{3}})}{a^{\frac{1}{3}}(1 - a^{\frac{4}{3}-\frac{1}{3}})} = \frac{a^{\frac{1}{3}}(1 - a^2)}{a^{\frac{1}{3}}(1 - a)} = \frac{1 - a^2}{1 - a} $

Разложим числитель по формуле разности квадратов $1 - a^2 = (1-a)(1+a)$ и сократим дробь:

$ \frac{(1-a)(1+a)}{1-a} = 1+a $

Теперь упростим вторую дробь. Вынесем за скобки общий множитель $a^{-\frac{1}{3}}$ в числителе и знаменателе:

$ \frac{a^{-\frac{1}{3}}(1 - a^{\frac{5}{3}-(-\frac{1}{3})})}{a^{-\frac{1}{3}}(a^{\frac{2}{3}-(-\frac{1}{3})} - 1)} = \frac{a^{-\frac{1}{3}}(1 - a^{\frac{6}{3}})}{a^{-\frac{1}{3}}(a^{\frac{3}{3}} - 1)} = \frac{1 - a^2}{a - 1} $

Разложим числитель и сократим дробь:

$ \frac{(1-a)(1+a)}{a-1} = \frac{-(a-1)(1+a)}{a-1} = -(1+a) = -1-a $

Наконец, сложим полученные выражения:

$ (1+a) + (-1-a) = 1+a-1-a = 0 $

Ответ: 0