Номер 538, страница 169 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Упростить выражение (538—540).

538.

1) $ \frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{y}} - \frac{\sqrt{x}+\sqrt[4]{xy}}{\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}} $

2) $ \frac{x-y}{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y}} - \frac{x+y}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}} $

3) $ \frac{\sqrt{x}-\sqrt[3]{y^2}}{\sqrt[4]{x}+\sqrt[3]{y}} + \sqrt[3]{y} $

4) $ \frac{x\sqrt{x}-y\sqrt{y}}{x\sqrt{y}-y\sqrt{x}} - 1 $

1) Исходное выражение: $\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{y}} - \frac{\sqrt{x}+\sqrt[4]{xy}}{\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}}$.
Упростим первую дробь. Числитель $\sqrt{x}-\sqrt{y}$ можно представить как разность квадратов, так как $\sqrt{x} = (\sqrt[4]{x})^2$ и $\sqrt{y} = (\sqrt[4]{y})^2$.
$\sqrt{x}-\sqrt{y} = (\sqrt[4]{x})^2 - (\sqrt[4]{y})^2 = (\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{y})(\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y})$.
Тогда первая дробь равна: $\frac{(\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{y})(\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y})}{\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{y}} = \sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}$.
Упростим вторую дробь. В числителе $\sqrt{x}+\sqrt[4]{xy}$ вынесем общий множитель $\sqrt[4]{x}$ за скобки.
$\sqrt{x}+\sqrt[4]{xy} = (\sqrt[4]{x})^2 + \sqrt[4]{x}\sqrt[4]{y} = \sqrt[4]{x}(\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y})$.
Тогда вторая дробь равна: $\frac{\sqrt[4]{x}(\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y})}{\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}} = \sqrt[4]{x}$.
Теперь выполним вычитание: $(\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}) - \sqrt[4]{x} = \sqrt[4]{y}$.
Ответ: $\sqrt[4]{y}$.

2) Исходное выражение: $\frac{x-y}{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y}} - \frac{x+y}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}}$.
Для первой дроби воспользуемся формулой разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$, где $a=\sqrt[3]{x}$ и $b=\sqrt[3]{y}$.
$x-y = (\sqrt[3]{x})^3 - (\sqrt[3]{y})^3 = (\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y})(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{y^2})$.
Тогда первая дробь: $\frac{(\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y})(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{y^2})}{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y}} = \sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{y^2}$.
Для второй дроби воспользуемся формулой суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$.
$x+y = (\sqrt[3]{x})^3 + (\sqrt[3]{y})^3 = (\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y})(\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{y^2})$.
Тогда вторая дробь: $\frac{(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y})(\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{y^2})}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}} = \sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{y^2}$.
Выполним вычитание: $(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{y^2}) - (\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{y^2}) = \sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{y^2} - \sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{xy}-\sqrt[3]{y^2} = 2\sqrt[3]{xy}$.
Ответ: $2\sqrt[3]{xy}$.

3) Исходное выражение: $\frac{\sqrt{x}-\sqrt[3]{y^2}}{\sqrt[4]{x}+\sqrt[3]{y}} + \sqrt[3]{y}$.
Заметим, что числитель дроби можно представить как разность квадратов, так как $\sqrt{x} = (\sqrt[4]{x})^2$ и $\sqrt[3]{y^2} = (\sqrt[3]{y})^2$.
$\sqrt{x}-\sqrt[3]{y^2} = (\sqrt[4]{x})^2 - (\sqrt[3]{y})^2 = (\sqrt[4]{x}-\sqrt[3]{y})(\sqrt[4]{x}+\sqrt[3]{y})$.
Подставим это выражение в дробь и сократим:
$\frac{(\sqrt[4]{x}-\sqrt[3]{y})(\sqrt[4]{x}+\sqrt[3]{y})}{\sqrt[4]{x}+\sqrt[3]{y}} = \sqrt[4]{x}-\sqrt[3]{y}$.
Теперь добавим оставшийся член выражения:
$(\sqrt[4]{x}-\sqrt[3]{y}) + \sqrt[3]{y} = \sqrt[4]{x}$.
Ответ: $\sqrt[4]{x}$.

4) Исходное выражение: $\frac{x\sqrt{x}-y\sqrt{y}}{x\sqrt{y}-y\sqrt{x}} - 1$.
Преобразуем числитель и знаменатель дроби.
Числитель: $x\sqrt{x}-y\sqrt{y} = (\sqrt{x})^2\sqrt{x} - (\sqrt{y})^2\sqrt{y} = (\sqrt{x})^3 - (\sqrt{y})^3$. Применим формулу разности кубов: $(\sqrt{x}-\sqrt{y})(x+\sqrt{xy}+y)$.
Знаменатель: $x\sqrt{y}-y\sqrt{x} = \sqrt{x^2y} - \sqrt{y^2x}$. Вынесем общий множитель $\sqrt{xy}$: $\sqrt{xy}(\sqrt{x}-\sqrt{y})$.
Теперь дробь имеет вид: $\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(x+\sqrt{xy}+y)}{\sqrt{xy}(\sqrt{x}-\sqrt{y})}$.
Сократим дробь на $(\sqrt{x}-\sqrt{y})$ (при условии, что $x \neq y$): $\frac{x+\sqrt{xy}+y}{\sqrt{xy}}$.
Теперь вычтем 1: $\frac{x+\sqrt{xy}+y}{\sqrt{xy}} - 1 = \frac{x+\sqrt{xy}+y}{\sqrt{xy}} - \frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{xy}} = \frac{x+\sqrt{xy}+y-\sqrt{xy}}{\sqrt{xy}} = \frac{x+y}{\sqrt{xy}}$.
Ответ: $\frac{x+y}{\sqrt{xy}}$.