Номер 544, страница 169 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

544. Доказать, что $\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}} + \sqrt[3]{7-5\sqrt{2}} = 2.$

Для доказательства данного равенства обозначим все выражение переменной $x$:

$x = \sqrt[3]{7+5\sqrt{2}} + \sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}$

Теперь возведем обе части этого равенства в куб. Для этого воспользуемся формулой куба суммы: $(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$.

$x^3 = (\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}} + \sqrt[3]{7-5\sqrt{2}})^3$

$x^3 = (\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}})^3 + (\sqrt[3]{7-5\sqrt{2}})^3 + 3 \cdot \sqrt[3]{7+5\sqrt{2}} \cdot \sqrt[3]{7-5\sqrt{2}} \cdot (\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}} + \sqrt[3]{7-5\sqrt{2}})$

Упростим полученное выражение по частям.

Сумма кубов первых двух слагаемых:

$(\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}})^3 + (\sqrt[3]{7-5\sqrt{2}})^3 = (7+5\sqrt{2}) + (7-5\sqrt{2}) = 14$

Произведение корней, используя свойство $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$ и формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$3 \cdot \sqrt[3]{(7+5\sqrt{2})(7-5\sqrt{2})} = 3 \cdot \sqrt[3]{7^2 - (5\sqrt{2})^2} = 3 \cdot \sqrt[3]{49 - 25 \cdot 2} = 3 \cdot \sqrt[3]{49 - 50} = 3 \cdot \sqrt[3]{-1} = 3 \cdot (-1) = -3$

Заметим, что последний множитель $(\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}} + \sqrt[3]{7-5\sqrt{2}})$ в развернутой формуле куба суммы — это наше исходное выражение, которое мы обозначили как $x$.

Теперь подставим все упрощенные части обратно в уравнение для $x^3$:

$x^3 = 14 + (-3) \cdot x$

В результате мы получили кубическое уравнение относительно $x$:

$x^3 + 3x - 14 = 0$

Чтобы решить это уравнение, попробуем найти его целочисленные корни. Возможные целые корни являются делителями свободного члена (-14): $\pm1, \pm2, \pm7, \pm14$.

Проверим значение $x=2$:

$2^3 + 3 \cdot 2 - 14 = 8 + 6 - 14 = 14 - 14 = 0$

Так как получилось верное равенство, $x=2$ является корнем данного уравнения. Чтобы убедиться, что других действительных корней нет, разделим многочлен $x^3 + 3x - 14$ на $(x-2)$:

$(x^3 + 3x - 14) : (x-2) = x^2 + 2x + 7$

Таким образом, наше уравнение можно представить в виде:

$(x-2)(x^2 + 2x + 7) = 0$

Это равенство выполняется, если один из множителей равен нулю:

1. $x-2 = 0 \Rightarrow x=2$
2. $x^2 + 2x + 7 = 0$. Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 4 - 28 = -24$. Так как дискриминант отрицательный ($D<0$), это уравнение не имеет действительных корней.

Поскольку исходное выражение $x = \sqrt[3]{7+5\sqrt{2}} + \sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}$ является действительным числом, то его значением может быть только действительный корень. Единственный действительный корень нашего кубического уравнения — это $x=2$.

Следовательно, мы доказали, что $\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}} + \sqrt[3]{7-5\sqrt{2}} = 2$.

Ответ: Равенство доказано.