Номер 549, страница 170 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

549. Средний коэффициент роста $\bar{x}$ некоторого показателя в экономике рассчитывается по формуле среднего геометрического: $\bar{x} = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot \dots \cdot x_n}$, где $x_i$ — значение элемента, $n$ — количество элементов в исследуемой совокупности. Сравнить средние коэффициенты роста объёма производства на двух предприятиях за 3 года, если на первом предприятии объём производства увеличивался ежегодно на 11%, а на втором в течение первого года вырос на 60%, во второй год упал на 5%, в третий год упал на 10%.

Для сравнения средних коэффициентов роста на двух предприятиях необходимо рассчитать их по формуле среднего геометрического, приведённой в условии: $\bar{x} = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot \dots \cdot x_n}$. В данном случае период составляет 3 года, поэтому $n=3$.

Коэффициент роста ($x_i$) показывает, во сколько раз изменился показатель за период. Если показатель вырос на $p\%$, то коэффициент равен $1 + p/100$. Если показатель упал на $p\%$, то коэффициент равен $1 - p/100$.

Расчет для первого предприятия

На первом предприятии объём производства ежегодно увеличивался на 11%. Это значит, что годовые коэффициенты роста были одинаковыми для всех трёх лет:

$x_{1,1} = 1 + \frac{11}{100} = 1.11$

$x_{1,2} = 1 + \frac{11}{100} = 1.11$

$x_{1,3} = 1 + \frac{11}{100} = 1.11$

Средний коэффициент роста для первого предприятия ($\bar{x}_1$) равен:

$\bar{x}_1 = \sqrt[3]{1.11 \cdot 1.11 \cdot 1.11} = \sqrt[3]{(1.11)^3} = 1.11$

Расчет для второго предприятия

На втором предприятии изменения объёма производства были разными по годам. Рассчитаем соответствующие годовые коэффициенты роста:

Для первого года (рост на 60%): $x_{2,1} = 1 + \frac{60}{100} = 1.6$

Для второго года (падение на 5%): $x_{2,2} = 1 - \frac{5}{100} = 0.95$

Для третьего года (падение на 10%): $x_{2,3} = 1 - \frac{10}{100} = 0.90$

Средний коэффициент роста для второго предприятия ($\bar{x}_2$) равен:

$\bar{x}_2 = \sqrt[3]{1.6 \cdot 0.95 \cdot 0.90} = \sqrt[3]{1.368}$

Сравнение средних коэффициентов роста

Теперь сравним полученные значения: $\bar{x}_1 = 1.11$ и $\bar{x}_2 = \sqrt[3]{1.368}$.

Чтобы сравнить эти два положительных числа, можно возвести их в одну и ту же степень. Возведём оба значения в куб:

$(\bar{x}_1)^3 = (1.11)^3 = 1.367631$

$(\bar{x}_2)^3 = (\sqrt[3]{1.368})^3 = 1.368$

Так как $1.368 > 1.367631$, то $(\bar{x}_2)^3 > (\bar{x}_1)^3$, а следовательно, и $\bar{x}_2 > \bar{x}_1$.

Ответ: Средний коэффициент роста объёма производства на втором предприятии выше, чем на первом.