Номер 3, страница 170 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

3. Что называется пределом числовой последовательности?

3/4

Привести пример последовательности,

Что называется пределом числовой последовательности?

Число A называется пределом числовой последовательности {$x_n$}, если для любого, сколь угодно малого, положительного числа $\epsilon > 0$ (эпсилон) существует такое натуральное число $N$ (зависящее от $\epsilon$), что для всех членов последовательности с номерами $n > N$ выполняется неравенство:

$|x_n - A| < \epsilon$

Простыми словами, предел — это число, к которому члены последовательности приближаются бесконечно близко с ростом их номера n. Геометрически это означает, что какой бы малый интервал $(A - \epsilon, A + \epsilon)$ вокруг точки A мы ни взяли, все члены последовательности, начиная с некоторого номера $N+1$, будут находиться внутри этого интервала.

Предел последовательности обозначается как $\lim_{n \to \infty} x_n = A$ или $x_n \to A$ при $n \to \infty$. Если последовательность имеет конечный предел, она называется сходящейся.

Ответ: Пределом числовой последовательности {$x_n$} называется такое число A, что для любого положительного числа $\epsilon$ существует натуральное число N, такое, что для всех $n > N$ выполняется неравенство $|x_n - A| < \epsilon$.

Пример последовательности и нахождение ее предела

Рассмотрим последовательность, заданную формулой общего члена $x_n = \frac{n+1}{n}$.

Первые члены этой последовательности: $x_1 = \frac{2}{1} = 2$; $x_2 = \frac{3}{2} = 1.5$; $x_3 = \frac{4}{3} \approx 1.33$; ...; $x_{100} = \frac{101}{100} = 1.01$.

Видно, что члены последовательности приближаются к 1. Докажем, что предел этой последовательности равен 1.

1. Нахождение предела с использованием его свойств.

Преобразуем выражение для общего члена, разделив его почленно:

$x_n = \frac{n+1}{n} = \frac{n}{n} + \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{n}$

Теперь найдем предел, используя свойство предела суммы и известный предел $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$:

$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n}) = \lim_{n \to \infty} 1 + \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 1 + 0 = 1$

2. Доказательство по определению (через $\epsilon-N$).

Мы должны доказать, что $\lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n} = 1$. Для этого нужно показать, что для любого $\epsilon > 0$ найдется такое натуральное $N$, что для всех $n > N$ будет выполняться неравенство $|\frac{n+1}{n} - 1| < \epsilon$.

Упростим выражение в модуле:

$|\frac{n+1}{n} - 1| = |\frac{n+1-n}{n}| = |\frac{1}{n}|$

Поскольку $n$ — натуральное число, $n > 0$, то $|\frac{1}{n}| = \frac{1}{n}$.

Нам нужно решить неравенство $\frac{1}{n} < \epsilon$. Отсюда $n > \frac{1}{\epsilon}$.

Следовательно, в качестве искомого номера $N$ мы можем взять любое натуральное число, большее, чем $\frac{1}{\epsilon}$. Например, можно выбрать $N = \lfloor \frac{1}{\epsilon} \rfloor + 1$, где $\lfloor \cdot \rfloor$ — целая часть числа.

Таким образом, для любого $n > N$ будет выполняться неравенство $n > \frac{1}{\epsilon}$, что равносильно $\frac{1}{n} < \epsilon$. Это доказывает по определению, что предел последовательности равен 1.

Ответ: Пример последовательности: $x_n = \frac{n+1}{n}$. Ее предел равен $\lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n} = 1$.