Номер 9, страница 171 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

9. Что называется арифметическим корнем натуральной степени n при $n \ge 2$?

Арифметическим корнем натуральной степени $n$ (где $n$ — натуральное число и $n \ge 2$) из неотрицательного числа $a$ называется такое неотрицательное число, $n$-я степень которого равна $a$.

Обозначается такой корень символом $\sqrt[n]{a}$. В этом выражении число $a$ называют подкоренным выражением, а число $n$ — показателем корня.

Таким образом, равенство $\sqrt[n]{a} = x$ является верным, если одновременно выполняются два обязательных условия:

1. Число $x$ должно быть неотрицательным, то есть $x \ge 0$.
2. Число $x$, возведенное в степень $n$, должно быть равно подкоренному выражению $a$, то есть $x^n = a$.

Ключевые особенности определения:

- Область определения: Арифметический корень определен только для неотрицательных подкоренных выражений ($a \ge 0$). Например, выражение $\sqrt[4]{-16}$ не имеет смысла в контексте арифметических корней.

- Значение корня: Результат извлечения арифметического корня всегда является неотрицательным числом. Это принципиально важно, особенно для корней четной степени. Например, уравнение $x^2 = 9$ имеет два решения: $x = 3$ и $x = -3$. Однако арифметический квадратный корень $\sqrt{9}$ равен именно $3$, поскольку по определению он должен быть неотрицательным.

- Частный случай $n=2$: Корень второй степени называется квадратным корнем. Для него показатель корня $n=2$ принято не указывать, то есть пишут $\sqrt{a}$ вместо $\sqrt[2]{a}$.

Примеры:

- $\sqrt[3]{64} = 4$, потому что $4 \ge 0$ и $4^3 = 64$.
- $\sqrt{25} = 5$, потому что $5 \ge 0$ и $5^2 = 25$.
- $\sqrt[5]{32} = 2$, потому что $2 \ge 0$ и $2^5 = 32$.
- $\sqrt[4]{81} = 3$, а не $-3$, так как значение арифметического корня по определению не может быть отрицательным.

Ответ: Арифметическим корнем натуральной степени $n \ge 2$ из неотрицательного числа $a$ называется неотрицательное число, $n$-я степень которого равна $a$.