Номер 13, страница 171 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

13. При каких значениях $r$ справедливо равенство $0^r = 0$?

Для того чтобы определить, при каких значениях $r$ справедливо равенство $0^r = 0$, необходимо рассмотреть три случая для действительного числа $r$: когда $r$ больше нуля, равно нулю и меньше нуля.

1. Случай, когда $r > 0$ (r — положительное число)

По определению возведения в степень, если основание равно нулю, а показатель степени — любое положительное действительное число, результат всегда равен нулю.

Например:

• $0^2 = 0 \cdot 0 = 0$
• $0^{1/3} = \sqrt[3]{0} = 0$
• $0^\pi = 0$

В общем виде, для любого $r > 0$, выражение $0^r$ определено и равно 0. Таким образом, в этом случае равенство $0^r = 0$ является верным.

2. Случай, когда $r = 0$

При $r = 0$ мы получаем выражение $0^0$. В математике это выражение считается неопределенностью. Его значение зависит от контекста:

• В некоторых областях, например в комбинаторике или при работе с многочленами и степенными рядами, $0^0$ по соглашению принимают равным 1.
• В математическом анализе, при вычислении пределов, форма $0^0$ является неопределенной, и ее раскрытие может дать различные результаты. Например, предел $\lim_{x\to 0^+} x^0 = 1$, в то время как $\lim_{y\to 0^+} 0^y = 0$.

Поскольку не существует единого общепринятого значения для $0^0$, и оно чаще всего не равно нулю, то при $r=0$ равенство $0^r=0$ не выполняется.

3. Случай, когда $r < 0$ (r — отрицательное число)

Если $r$ — отрицательное число, его можно представить в виде $r = -s$, где $s$ — положительное число ($s > 0$).

Тогда выражение $0^r$ можно записать как:

$0^r = 0^{-s} = \frac{1}{0^s}$

Так как $s > 0$, из первого случая мы знаем, что $0^s = 0$. Следовательно, мы получаем выражение:

$\frac{1}{0}$

Деление на ноль в математике не определено. Это означает, что при любом отрицательном значении $r$ выражение $0^r$ не имеет смысла и, следовательно, не может быть равно нулю.

Вывод

Проанализировав все три случая, можно заключить, что равенство $0^r = 0$ справедливо только для положительных значений $r$.

Ответ: Равенство справедливо при всех $r$ из промежутка $(0; +\infty)$, то есть для всех $r > 0$.